基于滑模控制分数阶统一混沌系统的函数投影同步

2019-06-10耿彦峰王立志

天津师范大学学报（自然科学版） 2019年3期

耿彦峰，王立志

（忻州师范学院数学系，山西忻州 034000）

1 引言和预备知识

随着对混沌系统同步控制的深入研究，相关学者提出了多种混沌同步的概念[1-4].文献[4]提出了混沌系统的修正函数投影同步的概念，该同步控制的驱动系统通过函数比例因子和响应系统实现同步，是一种更为广义的同步，其在工程领域中有着广阔的应用前景[4-5].实现混沌控制同步的主要方法有线性反馈控制法、自适应控制法和滑模控制法等[6-9].其中滑模控制方法适用系统范围广，能够得到快速响应，且具有很强的鲁棒性和抗干扰能力.对于分数阶混沌系统的修正函数投影同步，文献[5]基于分数阶微积分理论研究了一类不确定分数阶混沌系统的同步控制问题，文献[10]结合分数阶微分不等式研究了基于忆阻器分数阶时滞混沌神经网络的修正投影同步，文献[11]通过构造适当的响应系统针对一类分数阶超混沌系统设计了一种自适应广义投影同步的控制方案.

本文研究分数阶统一混沌系统的自适应修正函数投影同步，基于滑模控制理论设计了一种自适应函数投影同步的控制方案.通过构造响应系统的补偿器，进而由响应系统得到误差系统；然后构造一个分数阶积分滑模面，给出合适的自适应控制器，并选取合适的自适应滑模控制律，最终实现自适应修正函数投影同步控制；最后通过数值算例及其仿真验证了所提控制方案的有效性和可行性.

对于分数阶微积分的概念[12]，Caputo 定义的初始条件有明确的物理意义，因此广泛应用于许多实际问题的建模，本文采用Caputo 定义.函数f（t）的q 阶Caputo 导数为

定义1[4]对于分数阶混沌系统和若存在函数对角矩阵M（t）=diag（m1（t），m2（t），…，mn（t）），使得

则称这2 个系统获得函数投影同步.其中：mi（t）为连续可微有界函数，且mi（t）≠0，i=1，2，…，n.

引理1[13]对于自治系统Rn，若矩阵A 的任意特征值满足则该系统是渐近稳定的.

引理2[14]设x（t）为可微向量函数，则有其中：0 ＜q ＜1，P 为正定矩阵.

引理3[15]设为分数阶混沌系统f（x，t）的平衡点，若存在分数阶Lyapunov 函数V（t，x（t））与K 类函数γi（i=1、2、3），使得

（1）γ1（‖x‖）≤V（t，x（t））≤γ2（‖x‖）；

则当0 ＜q ＜1 时，该分数阶系统是渐近稳定的.

统一混沌系统相应的分数阶系统[16]为

当α∈[0，1]，系统（2）均呈混沌态.本文只讨论0 ＜q ＜1的情形.

2 主要结果

系统（2）的矩阵形式为

式（3）可表示为如下形式的混沌系统

其中：A、B∈Rn×n为已知常数矩阵，设‖A‖=N；f（x）为非线性向量函数；α 为单参数，α∈[0，1].

以系统（4）作为驱动系统，构造响应系统

系统（4）和系统（5）的同步误差为

为了得到分数阶误差系统，将参考信号的分数阶微分设计在补偿器中.因此对于响应系统（5），控制器U 设计为

其中：v 为待设计的控制器；补偿器u 为

则有

将式（8）整理后可得误差系统

设向量函数f（·）满足Lipschitz 条件，即‖f（y）-f（Mx）‖≤l‖y-Mx‖，其中l 为正常数.

设计积分滑模面

其中a ＞0.对式（10）求分数q 阶导得

设计控制器

及自适应律

其中：Q=diag（q1，q2，…，qn）为正定阵，设q′＝min{q1，q2，…，qn}；为控制增益；λ、μ 均为正常数.

定理对于驱动系统（4）和响应系统（5），设计积分滑模面（10），采用控制器（13）及自适应律（14），则系统（4）和系统（5）可实现修正函数投影同步.

证明构造分数阶Lyapunov 函数

设k 为正常数，且k≥N+l+a.对V 取分数q 阶导数，并由引理2 可得

由引理3 知系统（11）是渐近稳定的，即s→0，故在滑模面s=0 上有e→0，所以系统（4）和（5）最终实现修正函数投影同步，且有证毕.

3 数值仿真

为了验证上述同步方案的正确性和有效性，采用Adams-Bashforth-Moultom 算法进行数值仿真.

例1对于分数阶统一混沌系统（3），取α=0.8，q = 0.98，此时系统为分数阶Lü 混沌系统.取M =则响应系统可写为

通过补偿器u，由响应系统可得误差系统为

积分滑模面、控制器与自适应律分别按式（10）、式（13）和式（14）取得，取Q 为单位矩阵，步长h=0.01，系统（3）和（15）的初值取为x（0）=[3.5，7.5，-6]T，y（0）=[4，-3.5，3.2]T，（0）＝3.4.仿真结果见图1 和图2.由图1 可知驱动-响应系统最终实现同步，图2 表明参数趋于定值0.8.