Bloch型空间到调和权Dirichlet型空间的复合算子

刘佐灵

（汕头大学理学院，广东 汕头 515063）

0 引言

在Cowen和MacClue的著作中[1]，具体讨论了复合算子在某些函数空间上的有界性和紧性的问题.在文献[2]中，解决了经典Hardy 空间和Bergman空间上的复合算子的有界性紧性问题.Shapiro 在文章[3]中首次引入了复合算子的本性范数.近年来，复合算子在各类函数空间上的问题得到了丰富发展.其中与Bloch空间相关的复合算子的文章有文献[4-10].与Bloch 空间相关的关于复合算子的本性范数刻画的文章有文献[11-13].本文主要也是考虑从Bloch 型空间出发到新一类空间的复合算子，主要讨论在其上的有界性、紧性和本性范数的问题.

2005年，乌兰哈斯在文献[8]中讨论了Bloch 空间到Qk空间的紧性问题.2007年，Marko Kotilainen 在文献[5]中研究了复合算子从Bloch 型空间到Qk型空间的有界性和紧性问题.2009年，Jordi Pau 在文献[7]中考虑了复合算子从Bloch 型空间到Qk型空间的本性范数的问题.从以上文章中受到启发，本文主要考虑复合算子从Bloch 型空间到调和权Dirichlet 型空间上的有界性、紧性和本性范数的问题.

1 准备知识

如果f∈H（D），且范数定义为

其中

1991年，S.Richter 在文献[14]中引入了调和权Dirichlet 型空间D（μ）.设μ 为圆周T 上的正Borel 测度，其中

而dA 为单位圆盘上的Lebesgue 测度，其中

是在单位圆盘D 上关于μ的Poisson 积分.对Dirichlet 空间感兴趣的读者可以学习专著[15].

注：如果存在两个常数C1和C2使得C1A2≤A1≤C2A2，那么我们就说A1和A2等价，记作A1≈A2.Bx记作Banach 空间上的单位球.

2 引理及主要结果及其证明

引理2.1[16]设α＞0 和为缺项级数，存在常数C＞1 和所有K∈N，有nk＋1≥Cnk.那么

（1）f（z）∈Bα当且仅当

引理2.2[17]设0＜α＜∞，如果{nk}是一个递增的正整数数列且对所有k的都满足设0＜p＜∞，那么存在一个只和有关的常数A，使得

成立，其中{nk}为复平面上的任意数列.

定理2.3 设φ 为单位圆盘上的解析自映射，那么如下叙述彼此等价：

（1）Cφ:Bα→D（μ）是有界的；

证明：我们首先证明由（3）推出（1）.对于所有的f∈Bα我们有

接下来我们证明对所有的f∈Bα且限定时，有如果f∈Bα，我们有

从而证明了（3）推出（1）.

不等式的两边都对θ 进行积分和应用Fubini’s 定理可得

应用引理2.2 可得

注[9]：其中对任意的r∈（0，1）和α＞0 有

所以我们可得

应用Fatou’s 引理可得

从而由（2）推导得（3）.

引理2.4 设φ 是单位圆盘D 上的解析自映射.那么Cφ:Bα→D（μ）是一个紧算子当且仅当Cφ:Bα→D（μ）是有界的，且对于Bα中的任意有界序列{fn}，若{fn}在单位圆盘D的任意紧子集上，当n→∞时一致收敛到0，有

证明类似于[1]中的命题3.11，在此省略证明.

成立，其中0＜δ＜1.

成立.对任意的r∈（0，1）应用三角不等式，可得

设fn（z）＝nα－1zn.我们可知在D 的紧子集上一致收敛到0.因为Cφ是紧算子，我们可得因此，对任意的ε＞0 和存在一个整数N＞1，使得对任意n＞N 时有

给定r∈（0，1），从上面的公式可得

其中δ＜r＜1.

我们完成命题的证明是通过证得δ＝δ（ε，f）是和f∈BBα0无关的.因为Cφ是紧的，Cφ在D（μ）中是相对紧的.因此，存在使得对任意的ε＞0，我们可以选择fi（1≤i≤n）满足

应用三角不等式可得

其中δ＜r＜1.所以命题2.5 证明完毕.

定理2.6 设φ 为单位圆盘D 上的解析自映射.那么如下叙述彼此等价：

（1）Cφ:Bα→D（μ）是紧算子；

从引理2.1 可知f（z）∈Bα.设在D 上选取一个序列{an}，且当n→∞时，有对所有的n∈N，设gn（z）＝g（anz）.对设gn，θ（z）＝gn（eiθz）.我们可以很容易知道gn，θ（z）∈BBα0，用gn，θ去代替命题2.6 中的函数f 和对dθ 进行积分，应用引理2.2 和Fubini’s 定理，可得

从文献[9]或[10]中，我们可以知道

其中C（α）是只跟α 有关的常数.因此，对于充分大的n 和δ＜r＜1，可得

应用Fatou’s 引理，可得

从而证明了由（2）推导出（3）.

现在我们证明（3）推出（1）.假设条件（3）成立，我们可以很容易检验Cφ:Bα→D（μ）是有界的.设我们只需要证明在D（μ）中有收敛的序列.设{fn}在D 的紧子集上一致收敛到0 和我们可以知道在D 的紧子集上也是一致收敛到0.如果我们可以证明那么我们将完全证明复合算子Cφ是紧算子.因为条件（3）成立，对于ε∈（0，1）所以存在r∈（0，1）使得对所有的函数fn有

联合（i）和（ii）式.当n＞N 时，可得

式子成立.

特别地，复合算子Cφ是紧算子，当且仅当

因为

在此，如果S:Bα→D（μ）是任意的紧算子，可得

给定ε＞0 存在N∈N 使得n≥N 时有

从文献[7]中，我们可以知道对所有的z∈D 如果n 和m 充分大，时.

在（*）式上，两边都对θ 进行积分，应用Fubini’s 定理和引理2.2 可得

因此，应用Fatou’s 引理可得

从而可得

因此可得

所以我们证明了下界估计.

其中固定r∈（0，1）.先估计第一项Ik.设和z∈D 可得

因此

因为hk在D 的紧子集上一致收敛于0，所以我们可知hk'在D 的紧子集上也一致收敛于0.因此可得

综上可得

定理证明完毕.