数形结合法在数学解题中的应用

喀什大学 帕孜丽亚·阿卜杜赛米

数学是一切自然科学的基础。美国心理学家布鲁纳曾说过：“掌握数学思想是理解和记忆数学的钥匙，领会数学思想是提升学生数学能力的前进方向。”在整个高中数学体系中，函数和方程贯穿始末，它含有丰富的数学思想内容，其中数形结合思想占有重要地位。在教学过程中，对数形结合思想进行探索，掌握函数和方程的理论知识，通过对函数和方程问题的求解，对于开发学生智力，培养学生的数学能力都具有重要的意义。

数形结合法是解决数学问题最常用的方法之一，其源远流长，应用极其广泛。著名数学家华罗庚曾指出“数缺形时少直观，形少数时难入微”的数形结合的理念，其本质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，极大地拓宽了解题思路，使复杂问题简单明了，让学生很快从直观的图形中了解数学语言的意思，既节约了时间，又有更强烈的说服力，所以，数形结合法一直沿用至今，仍让人称赞不已。

为了很好地表述数形结合法的运用，下面的例题是经过多年教学实践总结出来的典型例题，足以说明数形结合的广泛运用。

一、对称问题的数形结合法

对称问题一直是圆锥曲线的常用问题，对于解决圆锥曲线问题，结合图形是非常有效且直观的办法，有利于学生清楚地知道解题的目的。

二、函数的数形结合

函数是数学的核心，贯穿整个数学课程，也是最难的内容之一，解决函数问题一直是学生的重点，利用数形结合的方式解决更是快捷，能直观地把抽象的文字叙述转为图形表达。

例：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求点（a，b）对应的区域的面积。

思路精析：列出a，b满足的条件→画出点(a，b)对应的区域→求面积。

解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)=x2+ax+2b的图像与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，

∴在如图所示的坐标平面内，满足条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）。

假如遇到一些题目中的等式或者代数式有几何特征，数形结合便是我们可以运用的解题方法，这就是几何法求解，比较常见的对应有：

通过对题目的阅读解析，掌握常见的数与形的对应类型，我们便可以用数形结合的方法解题，久而久之，我们便能更加娴熟地掌握这种解题方法。

三、数形结合在解析几何的应用

（1）在解析几何的应用中，我们常常要用到解析法，这个方法我们又称之为以数辅形，它是数形结合思想中一个非常重要的方面。当解析法与几何法结合来解题的时候，会有更大的功效。

（2）此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决。

四、数形结合在立体几何中的应用

（1）在立体几何的应用中，我们经常会遇见一些空间角及位置关系中的平行、垂直及点的空间位置这样的问题，此时我们便可以用空间向量来解决。我们可以先尽可能地建立空间直角坐标系，然后通过转化为坐标运算的方式来证明题目所要求的问题。

（2）立体几何问题的求解往往要将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口。

“数”与“形”作为数学中最古老、最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形结合之妙说得淋漓尽致。