浅谈复数中的几种数学思想

■广东省广州市第二中学 李 超

复数在高考中属于必考内容,主要考查：(1)复数的基本概念与四则运算;(2)复数模的计算;(3)复数的几何意义。其中蕴含很多数学思想,现归纳几种常见的数学思想。

一、数形结合思想

数形结合思想是一种重要的数学解题策略,它是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法,也是一种智慧的解题技巧。它的特点：由数思形;由形助数;数形结合。因为复数可用代数形式或者几何形式表示,所以复数的各种运算具有了几何意义。同学们如果能灵活地运用数形结合的方法,就可以使问题直观、快捷地得到解决。

例1设i是虚数单位,复数z1=2-2i,当复数z满足|z|=1时,求|z-z1|的最大值和最小值。

图1

评注：与复数有关的最值问题通常要利用复数的几何意义。

二、分类讨论思想

分类讨论是指按照一定的标准,将研究对象合理地分成几个部分或几种情况,然后逐类进行讨论,最后总结各类结果的解法。

例2设方程x2-2x+m=0的根分别为x1,x2,且|x1-x2|=2,求实数m的值。

解析：(1)当Δ=4-4m≥0(m≤1)时,即x1∈R,x2∈R。

因为|x1-x2|=2,所以|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=8,解得m=-1。

(2)当Δ=4-4m＜0(m＞1)时,即x1,x2为共轭复数。

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解得m=3

综上,实数m的值为-1或3。

评注：注意审题,掌握在复数范围内一元二次方程的求解方法,以及复数的运算法则是解答本题的关键。

三、方程思想

方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或构造方程,通过解方程(组),或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。

例3(江苏卷)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z的实部是__。

解析：解法1：令z=a+bi(a,b∈R)。

由i(z+1)=-3+2i得i[(a+1)+bi]=-b+(a+1)i=-3+2i。

故a=1,b=3,z的实部是1。

评注：比较两种解法,显然解法2更为简捷,一般地,若方程同时含有z和,则可用复数实数化的策略求解。

四、整体思想

整体处理是数学解题中的重要思想,在学习复数的过程中,要善于研究问题的整体形式及结构,灵活运用整体处理的方法,这样就能化繁为简,化难为易,从而达到迅速求解的目的。

例4(新课标全国Ⅰ卷)设复数z满足=i(i为虚数单位),则|z|等于( )。

解析：由已知=i,可得z=选A。

评注：把复数z看成一个整体,当作未知量,根据方程思想,从而得到z,这也是这类问题的一般解题思路。

五、转化与化归思想

转化与化归思想是处理问题时,将问题通过某种转化过程,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而使问题易于获解。

例5(山东卷)复数为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析在复平面内对应的点在第四象限。故选D。

评注：本题主要考查复数的概念和运算,体现了复数问题实数化的转化思想。