二项式定理中的六类题型

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

二项式定理是高考的必考内容,主要题型是选择题或填空题,常考题型有六类：求常数项、求指定项的系数、求参数的值、求n的值、求系数和、求有理项,请同学们务必熟练掌握。

题型一、求常数项

例1的展开式中常数项(用数字作答)

解析：由题意知,其展开式的通项为Tr+1

令6-2r=0,得r=3。

点评：本题直接运用通项公式,要求常数项,则x的指数为0,求出整数r,用通项公式注意(-1)r不能漏掉。

例2若的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为( )。

A.-40 B.-20 C.20 D.40

解析：令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,a=1。由题意知的展开式的通项为

令5-2r=1,得r=2;

令5-2r=-1,得r=3。

所以展开式的常数项为(-1)2×23·,故选D。

点评：令x=1可得所有项的系数和;求出a的值后,再分析常数项的构成,便可解得常数项。

题型二、求指定项的系数

例3(1)(x+2)8的展开式中x6的系数是( )。

A.28 B.56 C.112 D.224

A.-20 B.-5 C.5 D.20

A.10 B.30 C.45 D.120

解析：(1)其通项为令8-r=6,得r=2,即T3=,所以x6的系数是112,选C。

因此,x2只出现在(1+x)10的展开式中。含x2的项为,系数为,故选C。

点评：二项式展开式有关问题的解题策略：

①求展开式中的第n项,可依据二项式的通项公式直接求出第n项;

②求展开式中的特定项,可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可;

③已知展开式的某项,求特定项的系数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数。

④对于三项式问题,一般是通过合并其中的两项或进行因式分解,转化成二项式的形式去求解。

题型三、求参数的值

例4已知的展开式中含的项的系数为30,则a=( )。

解析：由已知得,解得r=1。

点评：易混淆二项式中的“项”,“项的系数”,“项的二项式系数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指

题型四、求n的值

例5已知的展开式的常数项是第7项,则正整数n的值为___。

解析：由展开式的公式通项得：

由展开式的常数项为第7项,知r=6。则3n-4×6=0,解得n=8。

题型五、求系数和

例6设(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a1+a2+…+a11=( )。

A.5 B.4 C.3 D.2

解析：由题意知,令x+2=0,则x=-2,

((-2)2+1)(-2+1)9=-5=a0。

令x+2=1,则x=-1,此时,(x2+1)·(x+1)9=0=a0+a1+a2+…+a11。

所以a1+a2+…+a11=-a0=5,故选A。

点评：“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法。对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可。

题型六、求有理项

例7在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项。

解析：由二项式的展开式的通项公式可知

由已知得2t2=t1+t3,所以n=1+1),解得n=8或1(舍去)。

通项公式为0,1,2,…,8。若项为有理项,则16-3r是4的倍数,r=0,4,8。

点评：本题涉及展开式前三项的系数成等差数列,注意展开式系数与二项式系数不同,要求有理项,可以通过通项公式解决。

练一练：

(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项。

参考答案：1120x4;

(2)T6=1792x5,T7=1792x6。