运用四维心理视角分析解决数学问题

姬梁飞

摘    要：心理因素在问题解决过程中起到至关重要的作用，对揭示、调节、导向、监控个体的自我认知策略具有重要影响.探索问题解决的心理思维机制，引导问题的发展和迁移，提升数学思维品质，优化解决问题策略，既是一项深刻而又含蓄的艺术，又是一种发展心理思维的教育智慧.

关键词：数学问题;问题解决;数学方法;心理活动

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出“四能”课程目标，从数学视角培养学生发现、提出、分析及解决问题的能力[1].解决问题并非单纯的智力活动，也是一种心理分析活动或认知操作过程.波利亚认为，把解题活动看成纯粹的“智力活动”是错误的，它也是一种意志教育，决心与情绪起到了重要作用，学生若没有机会体会到由解题活动带来的各种情绪变化，那么这种数学教育是失败的[2].所以，解决问题活动具有创造性与目的性，并受以思考和探索为主导下心理活动的影响.本文围绕四个维度，从双向、双示、双联、双维等视角，探究数学问题解决的心理思维过程，为问题解决提供一种理解和视角.

一、目标导向：直接与迂回

解决问题具有强烈的目标意识，正是问题的现状与目标之间的断层引发了个体内部心理认知的矛盾冲突.良好的目标导向能够激发个体积极的心理状态，利用目标导向设计问题的解决方案，产生自觉探索、主动思考、克服困难的心理倾向.维果茨基提出的“最近发展区”理论，将学生发展的可能性和目标锁定在最近发展区，它是学生有可能做到，但又不能独立完成的那个区域.如果目标不明确，往往导致耗时耗力，或劳而无功.利用目标导向，需要分清“欲求量”和“已知量”之间的关联，“欲求量”是目标，“已知量”是手段.在“欲求量”或“已知量”的周围寻找出“相邻近量”，选用“相邻近量”打通两者的联系.同时，设计合理的解决方案或途径，需要把握两条目标路线.第一种是直接路线，从问题的已有条件入手，选择正面解决问题.第二种是迂回路线，从问题的结果或结论入手，采用间接的或曲径通幽的，甚至是反面思考的方式解决问题.

依据问题的存在形式，问题分为原始形式、过渡形式和目标形式.问题解决可以从原始形式开始，也可以从目标形式开始，然后寻找适当方法或路径建构过渡形式，完成问题形式的合理转化.比如，方程和不等式问题可以选择函数思想方法去解决，讨论方程根的问题可以构造辅助函数来解决，研究函数、方程、不等式之间的联系可以运用图象、数形结合的方法来解决.

例1   已知[m>0， n>0]，求证：[mn+nm≥][m+n][.]

剖析：①直接路线.作差：[mn+nm-m-n=（mn-n）+（nm-m）=（m+n）（m-n）2mn≥0.]

②迂回路线.因欲求目标等价于[mm+nn≥mn+nm]，通过恒等变形，原命题成立的话，只需[（m-n）（m-n）≥0]成立.又因为[m-n]与[m-n]的值同号，二者乘积必为非负数，故而原命题获证.

一般地，问题的条件与结论是相辅相成的，可以根据条件论证结论，反之，也可以根据结论印证条件.如果条件简明充分，求解思路清晰顺畅，则可选直接路线，寻找相关中间量，由条件推证结论.如果结论过于繁杂，或已知条件无从下手，则可选迂回路线.其中常用的是反面思考策略，利用排除法、逆推法、反例法、反证法等方式求解.比如求证[2，3，5]不可能是等比数列中的三项，可假设其成立，然后寻找矛盾（推理结果和已知条件，已知公理、定义、定理产生矛盾，或从两个不同角度得到的结论不一致等），从而间接解决问题.利用目标导向是应用已有的知识经验去探索新情境中的问题，挖掘现有问题形态和欲达到的目标形态间隐藏的关系.从而拓展两种形态间相互转化的路径，缩短“已知量”和“欲求量”的距离，引导个体积极主动的心理思维过程，这也是目标导向解决问题的优势所在.

二、模式识别：内容与形式

英国数学教育家怀海特认为数学是一门关于模式的科学，本质特征就是在对模式化的个体进行抽象，并在这个过程中研究其模式[3].解决数学问题需要具备一定的识别能力，能够识别研究对象的数学模式.苏联数学家塔尔塔科夫斯基曾经把解决问题类比为“捕捉藏在石头堆里耗子”，他认为捕捉石头堆里的耗子有两种办法.其一，将石头堆的石块不断地移开，直到露出老鼠.其二，围绕石头堆，留心观察四周的石头，是否有从石头缝里露出的老鼠尾巴.若一旦发现，就抓住尾巴，将其从石头堆里拖出来.

識别数学模式，有助于快速捕捉隐含信息，准确认识问题，有时哪怕仅前进了微小的几步，但却极大地推动问题的解决.数学模式可以从内容和形式等两方面去识别，分析其内涵结构，观察呈现形式.根据内容与形式，在新情境中促成概念的形成与同化.只有培养敏锐的观察与识别能力，才能充分挖掘必要信息，从本质上认识问题和解决问题.模式识别，需要发挥数学问题模式的明示与暗示功能.明示与暗示是一种普遍的心理现象，是个体与环境进行信息交流的媒介，有时是直白的形式，有时是含蓄的方式，这些都需要个体用心去观察和领悟.问题模式的明示功能具有提示数学概念、数学结构、数学关系等典型特征的作用，暗示是通过特有的条件、结论、数据、关系、结构、表达式等方式，为个体传递某种隐含信息，指引某种恰当的思维方法，或有助于个体提出新方案、新方法的感应媒介，它具有开拓个体潜力、提升其想象力和创造力的作用.它们是发现、分析问题模式的显性途径和隐性工具，两者相辅相成、相互配合，能够为识别数学模式提供线索与思路，是引导个体直觉思维与发散思维的诱因.

例2   已知函数[?（x）=9x9x+3]，求[ω=?（12019）+?（22019）+???+?（20182019）]的值.

剖析：仔细观察函数自变量[12019，22019，…，20182019]的取值特征，首先它们是一个等差数列，其次收尾两端“等距”的两项之和为[1]，这是一个重要的暗示信息.为了不失一般性，不妨观察它们“等距”两项的函数值是否隐藏了类似的信息呢？由于[?（1-x）=91-x91-x+3=11+3?9x-1=39x+3]，那么[?（x）+?（1-x）=1.]果然，“等距”的两个自变量的函数值为[1]，故有[ω=1009.]