液体表面驻波的演示和驻波波长的测量

卢桂林，钟浩源，谭铝平，翟若迅，白在桥

(北京师范大学 物理学系,北京 100875)

在物理教学中，水波经常被用来演示一般的波动规律，比如波的干涉和衍射. 水波的定量测量比较复杂[1-4]，一般需要水槽和造波装置[5-6]. 本文提出简便的水波驻波观察和测量方法：将透明亚克力平板切割成一定形状和尺寸的承液板，把液体铺在承液板上，在表面张力作用下形成1层液膜，将驱动承液板放置在振动台上，使之上下微幅振动. 在合适的驱动频率下，液膜表面可形成稳定的驻波图样. 由于没有水槽壁的摩擦，波在液膜边界的反射系数更高，产生的驻波图样更完整、清晰. 该方法既可以演示不同形状液膜的驻波图样，也可以定量测量液体毛细波的色散关系，进而得到液体的表面张力系数.

1 理论分析

1.1 水波的色散关系

水波的回复力包括重力和表面张力，水波的波速与波长和水深都有关系. 水波振幅比较小时，忽略高阶效应，线性水波的色散关系为

(1)

其中，ω为角频率，k为波数，g,σ,ρ,h分别为重力加速度、液体表面张力系数、液体密度和液体深度. (1)式的推导可参见文献[7].

1.2 驻波图样

用前述的方法得到的水膜厚度约为3 mm，而平板的尺度在10 cm，因此除了弧形的边缘部分，水膜可认为厚度均匀. 液膜上驻波图案对应于水波方程在给定边界条件下的本征函数. 但边界条件的数学形式并不容易确定，精确的驻波形式不易计算. 不过驻波产生的机制并不复杂：水波在液膜边界反射改变方向，不同行进方向的行波叠加而形成驻波. 对于几种简单形状的液膜，可以结合实验现象写出其驻波形式. 对于正方形水膜，驻波形式为

u(x,y,t)=C[cos (kx)+cos (ky)]cos (ωt).

(2)

对于正三角形或正六边形水膜，驻波形式为

(3)

其中(ki,qi)=k[cos (iπ/3),sin (iπ/3)]，C为常量. 这里ω和k满足色散关系(1)式，而且只能取由液膜形状确定的离散值.

为便于理解，用Matlab画出2种驻波图样，见图1和图2. 图中黄色代表波峰，蓝色代表波谷，随时间推移，波峰和波谷位置周期性互换.

图1 正方形水膜上的驻波图样

(a)t=0

(b)t=π图2 正三角形和正六边形水膜上的驻波图样

需要指出的是，对于正方形水膜上的驻波，峰值点和谷值点各形成正方点阵，每套点阵相差1个平移，空间周期都是λ=2π/k. 而正三角形或正六边形水膜上的驻波图样则不然，峰值和谷值形成的点阵形状并不相同，分别为正三角形点阵和类似蜂窝状网格.

1.3 驻波成像

由于液体透明而且驻波的振幅很小，不便于直接观察. 1束平行光透过液膜，液膜表面波可以看成若干凸透镜(波峰)与凹透镜(波谷)的组合，其中凸透镜可以使光束会聚，在观察屏上形成亮点或亮线(见图3).

图3 水波波峰成像示意图

假设液膜按(2)式振动. 当cos (ωt)=1时，振幅达到最大，此时原点处有1个峰值. 当x,y趋于0时，

其中n=1.33为水的折射率. 若fmin=16 cm，代入实验的典型值k=1 000 m-1，得到振幅2c=0.038 mm，远小于液膜厚度.

2 实验装置和实验方法

2.1 实验装置

实验装置包括振动台、液膜和投影光路3部分，实物图和示意图分别见图4和图5.

由于实验需要的振幅很小，选用4个4寸低音扬声器作为振动源. 用1块挖去4个圆孔的平板将扬声器的相对位置固定，并放置在装有调平地脚的平台上. 信号发生器输出正弦波，经功率放大器后串联通过4个扬声器，保证它们同步振动. 将边长16 cm的正方体支架的4个脚分别放在4个扬声器的振膜上. 平台和支架均由透明亚克力板切割粘接制成.

承液板用透明亚克力板切割而成. 虽然液膜的厚度不能调节，但由于激光切割的便利性，水膜的形状和尺寸很容易改变，方便研究边界形状对液膜驻波图样的影响. 将承液板放在正方体支架的上表面. 支架内部放置倾斜角为45°的平面反射镜. 支架前表面粘1张硫酸纸作为投影屏，如图5所示.

图4 实验装置实物图

图5 实验装置示意图

实验用激光做投影光源. 激光经扩束和平面镜反射后从正上方垂直照射到液膜上，然后经过正方体支架内部的反射镜，投射在屏上. 屏到液膜的光路约为16 cm. 由于视觉暂留现象，如果保持光源常亮，人眼看到的图案是不同振动相位的叠加效果. 为了克服视觉暂留，实验采用的激光器有输出调制功能. 采用与振动信号同频率而且相位差和宽度都可调的脉冲信号调制激光输出，可以观察到特定相位的驻波图案，同时也提高了显示图像的对比度.

2.2 实验方法

在完成水平调节以及液膜准备之后，操作步骤为：

1)保持光源常亮，调节振动台驱动信号频率，找到液膜共振频率，调节驱动振幅，使投影屏上的图案尽量清晰.

2)将光源调制信号频率调至振动台频率，调节相位延迟与脉冲宽度，观察液膜振幅最大时刻对应的驻波图样，完成需要的测量.

重复步骤1)和2)，完成一系列共振模式的观察和测量.

为了实验方便，并提高测量精确度，利用摄像头采集图像，并用LabVIEW编写控制和测量程序. 图6为LabVIEW程序的前面板，主要分为5个区域：Ⅰ区为摄像头采集到的成像图，由于使用激光的波长为532 nm，程序做了简单的图像处理，只显示绿色分量，这样可以滤除环境杂光. Ⅱ区为控制部分，通过VISA控制信号发生器，调节振源频率、振幅、振源与光源调制信号的频率差、调制信号的相位和占空比. Ⅲ区控制图像的测量区域，在采集图像的特定位置选取矩形区域. 程序将所选区域的光强按垂直方向求和，得到一维光强分布. 然后对数据进行低通滤波(相当于长时间取平均)，结果在Ⅳ区用图形显示，图中每个峰值代表Ⅰ中矩形框中的1条亮线. 图形显示控件有若干光标，左右移动可以对峰值定位. 光标位置坐标在Ⅴ区显示.

图6 控制测量前面板

在做图像测量之前需要进行长度定标. 定标采用图7所示的定标板，由多条平行的透光缝组成，缝间距为5 mm. 将定标板放液膜的位置，测量图像中亮条纹的位置，定出标度系数.

图7 定标狭缝板

3 结果与分析

3.1 驻波演示

图8为不加光源调制时一些液膜上的驻波投影图，其中正方形板得到正方形网格，圆形板得到同心圆圈，三角形和六边形板均得到正六边形蜂窝状网格加中心亮点图案.

(a)正方形板 (b)圆形板

(c)六边形板 (d)三角形板图8 未经激光调制的成像图

用与振源同频率、占空比为10%的脉冲调制光源输出，在合适的相位差下，得到清晰的驻波图案，结果见图9. 与不加调制的图像相比，调制后的图案更清晰、对比度更高. 图9(a)和9(b)中亮线数目减半. 图9(c)和9(d)中，正三角形和正六边形板的图案由图8(c)和8(d)分裂为六边形蜂窝状网格和三角形格点2套图案，这与Matlab模拟结果一致.

(a)正方形板 (b)圆形板

(c)六边形板

(d)三角形板图9 经激光调制的成像图

3.2 驻波波长测量

使用正方形液膜，调节振源频率得到一系列共振，记录信号发生器频率f，并从对应驻波图案中测出波长λ(定标系数为0.087 3 mm/pixel). 自来水和肥皂水的测量结果见表1.

表1 水波的频率与波长

用ω2-gk与k做双对数图，拟合结果见图11. 自来水数据的斜率为3.03，肥皂水数据的斜率为3.38， 斜率与理论值基本符合. 自来水的数据与理论更符合，这可能是肥皂水表面张力系数小，低频时容易引起非线性效应造成的.

图10 自来水和肥皂水的色散曲线

图11 ln (ω2-gk)与lnk的关系

4 结束语

直接观察铺在透明亚克力板上的水膜(相当于1颗扁平的大水滴)上的驻波，通过光学方法将驻波图样投影在屏幕上，可以演示不同的驻波图案，并且可以测量毛细波的色散关系. 承液板容易加工成不同的形状与尺寸，方便进行设计性实验，探究液膜边界对波动的影响. 通过光源调制，可显示不同时刻的驻波图样. 基于图像的测量系统，操作简便而且结果比较准确. 与克拉尼图形实验相互参照，该装置可用来演示二维驻波，也可以作为液体表面张力系数的测量装置，引入大学物理实验教学.