“变与不变”对比的策略在教学中的应用

徐龙翔

（南京市江宁区谷里中心小学，江苏南京 211100）

一、“变与不变”对比策略的由来

网络上有一段特级教师徐斌执教苏教版小学数学六年级上册“解决问题的策略——替换”的视频，其中徐老师在把相差关系两个量的替换同倍数关系两个量的替换进行比较时，有这样一段实录：

师：这个题目与刚才的例题在做法上有什么不同？

生：替换后的总量不同。例题中，替换后总量还是720 毫升；改变后的题中，替换之后的总量发生了变化。

师：是啊！由于替换的依据不同，替换后的总量会不一样。如果我们观察替换前后杯子的个数，你有什么发现？

生：倍数关系的替换，替换之后杯子的总个数变化了。

生：相差关系的替换，替换之后杯子的总个数没有变化。

师：同学们观察得真仔细！数学就是这么奇妙！在变与不变中存在着内在的联系。

时值笔者参加赛课，课题正是“解决问题的策略——替换”，虽然备课过程中不乏亮点，但总感觉如同散落的珍珠，缺一根线。对照徐斌老师的课堂，没有绚丽多彩的情境创设，有的只是有趣而又扎实的过程展示，有的只是对教学态度的那种严谨，对数学问题的深入挖掘、引导。特别是那一句“在变与不变中存在着内在的联系”，“变与不变”简单的四个字，前后对比，却贯穿起了整个课堂，体现了守恒与函数的思想。“变与不变”对比的策略给我赛“替换”这一课带来了很深的启示。“变与不变”这样的字眼在以往的数学课堂中似曾相识，但却远远不如徐斌老师带来的深刻。当然，深深的印记不只是留在这一节赛课上。

二、“变与不变”对比的策略的灵活应用

抓住“变与不变”对比的策略，用它串联起教学过程，放得开，收得起，细节处理总在掌控中。展望小学数学全程，小学生从学习自然数到学习整数、分数、小数、百分数，从学习试题计算到解实际问题，从认识简单图形到计量其面积、体积……在这一系列数量关系和空间关系中无不充满着数与数、数与形间的“变”与“不变”的现象，并且呈现一定的规律。这些现象和规律是小学数学思维的一个特征。抓住这一特征，对促进学生获取知识、发展思维有十分重要的意义。

首先，在概念、规律、方法归纳教学中进行“变与不变”的对比，使得隐含的思想外显，让学生在活动中变得有的放矢。在变与不变中揭示概念，概念的本质特征更容易让学生抓住。例如：教学“梯形的认识”这一课，四条边的长度在变化，四个角的大小也在变化，学生抓住“四边形中只有一组对边平行”这个不变的本质，就能正确地认识“梯形”了。另外，小学数学教学中的一些规律或性质，几乎都可以让“变与不变”来指导我们进行归纳概括。例如：在四年级“商不变的性质”这一节课中，学生在观察了一系列的算式后发现：被除数和除数变化了，但商不变，那么这里面隐藏了什么性质呢？学生在发现规律，归纳出性质以后，教师可以适当将这种隐性的方法凸显出来，明确指出以后用“什么变了，什么不变，变化的量是按照怎样的规律进行变化的”模式来进行归纳总结。那么在以后的学习中，学生就会有意识地按照“变与不变”的方法来观察和总结，做到不再盲目，有章可循，使数学中隐含的规律、性质更加容易被发现和应用。

其次，“变与不变”在几何图形转化对比中，突出体现了其架构和引导作用。例如在长方形面积计算方法基础上研究平行四边形的面积时，先出示长方形，通过课件演示把长方形变成平行四边形：

师：在这个过程中什么变了，什么没有变？

生：周长没变，面积变了。

师：怎么求平行四边形的面积？

生：把左边的三角形剪下来移到图形的右边就可以拼成长方形了。

师把平行四边形再转化成长方形：

师：在这个转化的过程中，什么变了，什么没有变？

生：形状或者说周长变了，面积的大小没有变。

接着推导平行四边形的面积计算公式。

从学生的角度来看，他们直观地看到了有些条件确实没有变，有些是变了的。究竟哪些变了，哪些没有变呢？组织学生交流后得出：第一次没变的是边的长短以及周长，变的是相邻两条边的角度，其中一条边变成了斜边。第二次在剪拼过程中，斜边成了长方形内部的一条线段，对长方形的面积大小不起作用。剪拼时还发现，斜边变成了直角三角形的斜边，斜边大于直角边，所以说周长变了，但面积的大小没有变。

教学中，“变与不变”的二度探索意义重大，正好将学生原先获得的模糊经验进一步明晰化、准确化、系统化，从而真正将活动经验转化为有效的数学知识，验证得出平行四边形的面积算法，并在操作过程中提升思考，获得发展。

再次，“变与不变”前后对比在指导学生练习中，拓宽了思路。例如，在苏教版六年级下册练习中有这样一题：“圆柱的侧面积是150平方厘米，底面半径是4厘米，它的体积是（ ）立方厘米。”

这道题一般的推理思路是：要求体积，必须先求出底面积和高，底面积可以通过πr2轻松得出，高则是通过“侧面积÷底面周长（2πr）”求出。综合算式3.14×42×150÷（2×3.14×4）。这样的思路摆在学生面前的至少有三个难点：一是“圆柱的高”通过“侧面积÷底面周长（2πr）”求出，不容易想到；二是150÷（2×3.14×4）除不尽；三是由3.14×42×150÷（2×3.14×4）转化成3.14×42×150÷2÷3.14÷4，接着第一个3.14 和÷3.14 化简掉，这个过程是学生难以逾越的鸿沟。实际上这种算法并不是出题人的命题意图，本题的意图是要让学生通过转化，结合“变与不变”对比的策略解决。笔者尝试如下设计：

师：如果把这个圆柱转化成长方体来考虑，什么变了，什么没有变？

生：表面积变了，底面积没变，高没变，体积也没变。

师：如果把这个长方体躺下来（教师结合模型演示），什么变了，什么没有变？

生：底面变了，高也变了，但体积没有变。

师：躺下来的长方体与已知条件有什么关系？

生：底面就是圆柱侧面积的一半，高就是半径，通过150÷2×4 就能求出长方体的体积，也就是原来圆柱的体积。

过程图示如下：

大千世界，到处都在发生或明显或隐蔽的运动与变化。在变化的过程中，常常有相对不变的东西。研究数学更是如此，教学中如果能从中把握着力点，因势利导，定能建立正确、有效、深刻的认识。