变式在数学教学中的应用

周功扬

关键词：变式教学  多题归一  一质多表  一题多变  一题多解

自顾冷沅教授开展变式教学实验以来，变式教学已获得了人们的普遍关注，“变式教学是我国数学教育的传统特征，已成为我国数学教师的日常行为规范。”张奠宙 变式就是通过变换研究对象的非本质特征，变换观察事物的角度或方法，来突出事物的本质特征，帮助学生认识、理解和把握这些本质特征。变式教学能够在不改变事物本质的情况下，转变问题的呈现方式，巧妙运用各类素材进行变式训练，对概念、例（习）题、解法、结论不断地进行拓展和深化，有利于启迪学生思维，触类旁通，提高教学效率。

一、多题归一

通过设计不同现实情境下的变式问题，发现共同特征，突出概念的本质属性，从而引入概念或获得结论。

案例1：幂函数概念引入

（1）购买每千克1元的商品a千克，需要支付P = ______

（2）正方形边长为 a，它的面积S = ____

（3）立方体边长为a，它的体积V = ____

（4）面积为 S的正方形场地的边长a = _____

（5） t 時间内车行1 km，车的平均速度v=_______

把各题的自变量和因变量分别换成x和y，得y=x，y=x2，y=x1/2，y=x3，y=x-1

让学生寻找以上问题中的函数有什么共同特征？

都是函数;均是以自变量为底的幂;指数为常数;自变量前的系数为1;幂前的系数也为1。

上述问题中涉及的函数，都是形如的函数，进而引出幂函数的概念。

二、一质多表

通过变式题组多题辨析或多种表征，更加精准把握概念的内涵和外延，从而理解概念的本质。

1.案例2： 函数概念的辨析

讲授函数定义时，设计以下一组对应关系f：A→B，让学生辨别能否构成函数：

根据函数的定义，分析上述六种对应关系中，“一对一、一对一且B有余、多对一、多对一且B有余”四种对应可以构成函数，“A有余”不能满足定义中的“任意性”，“一对多”不满足定义中的“唯一性”，都不能构成函数。对“一对多”“多对一”的对比讲解也为后面学习反函数留下伏笔。

教材中还有诸多例子，如用函数的解析法、表格法、图像法三种表示来辨析函数概念中的“某种对应关系”;二次函数的三种表示：当a≠0，一般式y=ax2+bx+c;零点式y=a（x-x1）（x-x2）;顶点式y=a（x-m）2+n;直线方程有点斜式、两点式、斜截式、截距式四种表达式。

三、一题多变

通过对原问题的条件改变、结论改变、一般化、特殊化等作引申或铺垫。对例（习）题的变式训练，要重视探究问题的变化，在变化中更深刻理解概念的本质，在变化中获得更多的方法和结论，在变化中培养更具灵活创新的思维。

1.案例3： （弦的中点轨迹问题）抛物线y2=4x的弦AB的斜率为1，求AB中点的轨迹方程

解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。

由题意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==1，

则2（在抛物线内部，即x≥1）。

变式1（把抛物线改为椭圆）椭圆x2/2+y2=1的弦AB的斜率为1，求AB中点的轨迹方程。

解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。

由题意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得2（x2+x1）（x2-x1）+2（y2+y1）（y2-y1）=0，

又x2+x1=2x，y2+y1=2y，k==1，

则x+4y=0（在椭圆内部，即）。

变式2（把斜率改为过定点）过定点P（2，3）作直线交抛物线y2=4x于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。

解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。

由题意可得（1），（2）

由（2）-（1）可得（y2+y1）（y2-y1）=4（x2-x1），

又y2+y1=2y，k==，

则y2-3y=2x-4（在已知抛物线y2=4x内部，即y〈2或y〉4）。

本例还可在椭圆、双曲线、抛物线，斜率、定点、定弦长等之间作组合变式，延伸出各种不同的题。从解题中还可发现这类题都可以使用“点差法”（把弦的两个端点坐标带入已知曲线方程再作差）求解。

2.案例4： 作正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+k的图像

难点在于取哪五点来作图。有学生作图时取x=0，π/2，π，-π/2，2π，为此设计以下题：

（1）作函数y=sinx的图像

（2）作函数y=sin2x的图像

（3）作函数y=2sin2x+1

（4）作函数y=2sin（2x+π/4）+1

解决题（2）后，学生顿时明白y=sin2x与y=sinx “五点”作图时x的取值是不同的，进而更加深刻掌握“五点”是函数最大值点、最小值点和三个零点组成的。这样就大大降低了y=2sin（2x+π/4）+1的作图难度。

四、一题多解

将同一个问题的不同解法作为变式，去联结各种不同的知识点，从而提高学生对知识的整合能力，有利于形成完整系统的知识网络，举一反三，触类旁通。

案例5：关于x的二次方程 2（m+1）x2-4mx+

3（m-1）=0至少有一个正根，求m的值

在有实根的前提下，依题意，可以按正根个数来分类：（1）有两个正根，（2）只有一个正根，（3）没有正根。从正向求解，分别求解（1）（2）兩种情形，再取并集即可;从方向求解，只需求解情形（3），取其补集即可。

解法一：首先要满足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）。

（1）有两个正根，则 解得m<-1或m>1（2）。

由式（1）（2）得解-≤m<-1或1

（2）只有一个正根，则x1x2=≤0，解得-1

由式（1）（3）得解m的取值 -1

综合情形（1）（2），得-≤m≤且m≠-1。

解法二：首先要满足2（m+1）≠0且△=（-4m）2-4×2（m+1）×3（m-1）≥0，得-≤m≤且m≠-1 （1）

再解“没有正根”情形，即 解之得无解（2）。

由式（1）（2），得m的取值-≤m≤且m≠-1。

五、一法多用

用同一具体解题方法解决不同知识点的问题。

案例6： 曲线系方程可用在下列题解中

（1）证明双曲线x2/25-y2/9=1和x2/9-y2/25=1不相交;

（2）不论m为何值，曲线kmx2+my2+x+y-6m+4=0均过定点，求k的值;

（3）求圆2x2+2y2+4x-y-7=0与2x2+2y2-3=0的公共弦所在的直线方程;

（4）求经过点（2，-3），且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆方程。

两曲线C1：f（x，y）=0和C2：g（x，y）=0的公共交点一定在方程为f（x，y）+λg（x，y）=0的曲线上，因此可设经过曲线C1和C2交点的曲线系方程为f（x，y）+λg（x，y）=0，但曲线系中不包括C2。这种共交点的曲线系方程具有广泛的应用。可用它来解上述这组题。

（1）两式相减，化简得x2+y2=0，则x=y=0，而点（0，0）不在已知两曲线上，故无交点。

（2）原方程可整理为

x+y+4+m（kx2+y2-6）=0

这是直线x+y+4=0与曲线kx2+y2-6=0的曲线系方程，那么也必定经过该直线与曲线的所有交点。由方程组化得（k+1）x2+8x+10=0，△=-40k+24

当△=0，即k=时，原曲线均过定点。

（3）两个原方程相减，即得公共弦方程4x-y-4=0.

（4）该题运用结论：

与椭圆=1（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：=1（λ>c2）

解：因已知椭圆焦点在y轴上，则可设所求椭圆方程为=1

易求c2=5，又所求椭圆过点（2，-3），代入解得 =10或-2（舍去）

则所求椭圆方程为=1

说明：曲线系方程应用有一定条件要求，应用需谨慎，本文不展开。

还有本文例3“点差法”可以解决椭圆、双曲线、抛物线的弦的中点轨迹问题;一元二次方程根的判别式可以解决一元二次方程求根、一元二次函数与x轴交点、一元二次不等式解集、二次三项式的因式分解以及直线与抛物线的交点等方面的问题;高等数学中“微元法”可以用来解决“分割化小，以直代曲”的问题等。

在变式教学中要带领学生参与到问题认知、探究、发现过程中，多方位、多层次认识数学问题的本质特征，对问题有更深层次的理解，开拓思维能力。通过变式教学，能优化课堂教学方式，增强学生学习的兴趣，提高课堂效率。

参考文献：

[1]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]温丽红.数学概念的变式教学方略[J].福建中学数学，2017（5）.

（作者单位：杭州轻工技师学院）