提问建构 促进迁移——以“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”为例

■祁荣圣

函数、方程、不等式是第三学段“数与代数”内容的核心，三者存在密切的内在联系，探索三者之间内在联系，体现函数“主干”解决问题，是初中学段教学的一个重、难点。下文以“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”教学设计为例，阐释在不同模型的知识关联处，借力“问题驱动”，采用自主问、整体学、类比学的路径和方式，在探究中体验、感悟、默会数形结合思想方法，助推学生思维逐步实现常量数学到变量数学的飞跃。

一、学情诊断，因“疑”生问

问题1 如图1，直线 y=ax+b过点 A（0,2）和点B（-3,0），则方程ax+b=0的解是（ ）。

A.x=2 B.x=0

C.x=-1 D.x=-3

追问1：你是如何思考的？

追问2：可以先设待定系数，再解一元一次方程，但有其他解法吗？

追问3：如果将上题减少条件，删除y=ax+b过点A（0,2）这个条件，你还能解决吗？

设计说明：

1.在形式相同的方程ax+b=0和函数y=ax+b设问，预设大多数学生可能会从数的角度思考，反复代入解决问题。

2.在学生最近发展区处追问，紧扣八年级学生求异、求新、好奇的心理特征，唤起探究意识。

3.通过削弱条件探究，原有的认知结构不能解决问题，引发认知冲突，用疑问点燃思维的火花，达成“为何要学习新知”的目标。

二、把握关联，扣“根”追问

活动一：探究一次函数与一元一次方程之间的联系。

1.填空：

（1）方程 2x+4=0解是__________；

（2）直线 y=2x＋4与x轴的交点坐标是______；

讨论：①上述函数图像与x轴交点的横坐标和方程的解之间有什么关系？

②你发现的关系可以推广吗？

③从中你能获得这类方程的新解法吗？

3.不解方程，你能说出方程2x+4=4的解吗？

4.你还能利用图2的图像求出哪些一元一次方程的解？

5.通过以上探究，请你说说一次函数与一元一次方程之间的联系。

图2

活动二：探究一次函数与一元一次不等式之间的联系。

观察图2中一次函数y=2x+4的图像。

问题1：当图像在x轴上方时，图像上点的坐标有什么特征？

问题2：你能把图像在x轴上方时对应的函数值y满足的数量关系用式子表示吗？

问题3：求2x+4＞0解集，你有几种方法？

问题4：你能发现一次函数y=kx+b与一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的关系吗？

问题5：你能说出不等式2x+4＜4的解吗？

问题6：仿照活动一的探究，你还能提出哪些不等式并用图像求解集？

问题7：已知一次函数y=kx+b，当x=-3时，y=0；当x=0时，y=-4；求当 x≥0时y的范围。

设计说明：

1.活动一遵循特殊到一般的认知顺序，通过实例发现一次函数与x轴交点的横坐标就是与其形式相同的一元一次方程的解，提出“你发现的关系可以推广吗”，发展“用字母表示数”的概括意识。利用新方式识图转化，刺激主体产生“愤”与“悱”的预期状态，通过示范“你能观察图像说出2x+4=4的解，你还能说出哪些方程的解”，层层追问，在知识迁移运用处拓展问题，不断“启”而“发”之。在函数、方程两种刻画现实世界数量关系本源联系处引导学而生“疑”，思而破“疑”。

2.活动二在学生会用函数图像以形定数，把握函数方程联系的基础上，类比设计问题，在函数主路径解方程的储备下，观察思考不等关系是否可以类似地用函数图像求解，引导学生把握关联，在本质处迁移感悟学习方法。丰富问题呈现的方式，从教师指定问，到学生自主提出问题，开放提问，比如设计中“仿照活动一的探究，你还能提出哪些不等式并用图像求解集”。“不等式与函数”和之前学习的“方程与函数”有何联系？同与不同在何处？这种抽丝剥茧式的追问设计逼近研究本质，在数学本源处追问，在类比学习思辨中概括。问题7主要是引导学生体验感悟数形不同角度解决问题的繁简，在对比思辨中主动建构函数图像破解一类方程不等式新方法，在“数”还是“形”求解选择中优化思维，从x轴为界线的不等式探究、顿悟关于y轴为界的含x的不等式解法，完成知识应用创新。

三、建构学法，拓“深”精问

问题1：某校初中部的同学们在老师的带领下，乘坐客车来到距离学校35km的高铁北站，然后乘坐动车前往孔子故里山东曲阜和泰山，开展“圣贤瞻仰，名山登顶”的户外实践活动。假设动车以200km/h的速度匀速行驶了xh。试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解。

问题2：已知y1、y2关于x的函数图像在坐标系中有三个交点，交点横坐标如图3所示，则当y1≥y2时，自变量x的取值范围是____________。

设计说明：

1.问题1改编自教材问题情境，通过熟悉的行程情境设计开放问题，将提问的主动权交给学生，这种开放就是坚持“用教材教”，而不是“教教材”的原则，是坚信“培养学生提出问题比解决问题更重要”理念，可以“由浅到浅”，也可“由浅入深”的结果放开，兼顾学生学习的分层，基于学生立场的重心下放和信息回收，有效的应用、回应、反馈、感知，在顶层设计中充分预设各种可能，在课堂生成中逐步发展数学的应用意识。

图3

2.问题2选用未学过的二次函数与一次函数相交的图像，在新情境中激发主体探究欲望。这种问题设计立足于已知的三个一次关系理解，着力函数“主干”研究方程、不等式的核心方法，走向自主探究未知函数图像解不等式的知识创新应用。这种数学内部的问题情境符合学生认知需要，引领学生在品尝“函数味道”中提升数学内容问题化的宽度和深度，在问题解决中进一步体验、感知，顿悟数形结合的思想方法，延伸运用本课相关数学概念的本质联系。从已知到未知的问题驱动，形成研究本章核心问题的基本套路。

四、自主梳理，反思“自问”

作业：

1.必做题：围绕所学内容，选取自己喜爱的一道试题，以“三个一次的邂逅”为题完成反思小文章。

2.选做题：结合我们判断一次函数y=kx+b图像所在象限的经验，函数y=x2-的图像不经过（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

设计说明：

问题1的设计关注学生学习过程中的个体体验，引导学生自觉地从数学的角度看待问题。问题2着力于整章方法提纯，融列表、描点、绘图像直观认识于一体，解决“学得怎么样”的目标检测。分层问题设计满足不同层次学生用数学方法、数学思维思考问题、解决问题的需求，在数形结合中发展形象思维与抽象思维。

五、几点思考

1.开放提问方式，追问激活思维。

章建跃博士在文中指出：“课堂教学中必须注意教师主导取向的讲授式与学生自主取向的活动式的结合，要把引导学生提问，使学生在独立思考后提出有质量的数学问题作为学生活动的重要内容。”教师应该把善于提问作为一项重要的数学基本功修炼，其中在何处发问，能否提出好的问题至关重要。好的问题情境能体现“富而不臃，简而不透”的特点。

教学设计案例通过具体情境的一次函数一般式及图像，研究一元一次方程一般式的解，在学生已有待定系数法知识储备处设计问题，复习回顾中通过追问“削弱条件你还能求出方程的解吗”，为从数向形过渡，以形助数，为学生直接读图像获取新方法预设认知冲突，从而引发探究欲望，再设特殊的问题探究情境，为寻找图像数量的本质关联提供例证，在不完全归纳中形成猜想，紧扣变量转化为常量这一本源揭示数形两种解法的实质同源，“不解方程求方程2x+4=4的解。你还能利用图像求出哪些一元一次方程的解？”通过开放的问题追问，巩固认知，即学即用，为后继不等式与函数关联提供学法结构。教师引导学生学会提出问题，形成发问的学法建构的方法可以从课本例题出发，交换题设结论再发问。比如，如果知道方程ax+4=4的解为x=0，你能判定函数y=ax+4一定过哪个定点吗？可以改变试题呈现质态，从运动的视角发问；减少或增加条件探究设问结论的变化问：板块二的例题中将函数y＝2x+4旋转过定点（0，-2），你能不解方程观察图像直接写出方程2x+4=-x-2的解吗？再如运用从特殊到一般的概括性推广问：“你还能利用图像求出哪些一元一次方程的解？请你说说一次函数与一元一次方程之间的联系？”

联系学习内容，循教材呈现的逻辑顺序，这个方法能否运用到其他问题的解决之中？这种变化引申，获得的益处在于提供范例，每一种变式发问都有利于激发学生的探索精神，开拓思维的广阔性，更在于各种变式之间的共性与个性水乳交融。结论的相似、学法的相通，随着一个个问题的发散，学生会在问题意识的形成之中积极思考，逐步学会思考发问，在搭建类比学法的“脚手架”的过程中把已有的事和物与未知的事和物联系起来，迁移找到解决新问题的方法，培育一种触类旁通的类比学习的思维方式。

2.创新设计互动，开放探究生成。

当下课堂流行的问法：你有什么发现？你能提出哪些问题？你有什么想法……这种开放的设计，立足于学情，以生为本，广泛发散，旨在培养学生的问题意识，训练思维的发散性。教师需要在学生有价值的问题处引申拓展，扣“根”追问，拓“深”精问，有序指导学生进行实质性的思考体验。教师要练就“问出去，能收回头”收放自如的基本功，激发学生在自主问题驱动下的探索热情，在临近最近发展区处打造生成课堂、生本课堂，让课堂成为学生认识事物本质的主阵地，让有意义的学习在课堂“真正”发生。比如教学设计：“动车以200km/h的速度匀速行驶了xh。试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解。”“已知y1、y2关于x的函数图像在坐标系中有三个交点，交点横坐标如图，则求y1≥y2时自变量x的取值范围。”这些问题的架构实现了书本知识与学生现实生活、个人经验、体验实践的沟通。开放的教学使学生生成基础资源，在扫除困难与障碍中丰富认识和体验，提升思维的层次，从已知到未知的资源利用使学生生成新的认识，有效避免“小问题设计小步走、问题缺乏挑战力度、学生的思维被动”的“假开放”的教学质态。在充分了解学生前在状态、潜在状态和发展可能的前提下，通过创新设计，打造互动生成的教学环境，以追求师生真实的生命成长。

郑毓信教授倡导把善于举例、善于提问、善于反思作为数学教师必须掌握的三项基本功，并提倡把设计作为一个案例，应该跳出单纯的教学设计，深入地思考相应的普遍性问题。从上述案例可以管窥函数、方程、不等式联系的主流教学，类比地搭建学习通法。比如教学反比例函数图像与性质l例3（苏科版八下P131），可以设计如下对比反思问题：“已知反比例函数y=，指出当x＜-1时，y的取值范围”与“已知一次函数y=2x-1，指出当x＜-1时，y的取值范围”这两种情况有什么不同。让学生在类比相同思想方法中，关注两类函数图像的不同点，感悟函数本质。

3.渗透思想方法，自主迁移感悟。

在拓展延伸环节，通过分层作业，学生在完成反思小文章中自主梳理学法，完成个体学法建构。教师通过开放自主的问题选择，放手让学生提炼数形结合的基本思想，感受数学问题解决就是一个个不断转化的过程，为提纯数学思想方法（本节课的核心——数形结合、转化），建立问题解决之模型，揭示数形关联、形在其内、模型有法的教学方式本质。照顾到不同层次学生发展的需求，设置陌生函数y=x2-，图像不经过哪个象限的问题，再次回归函数章节学法本质，在学生画图解决问题过程中融入列表、描点、图像三位一体的解题方法，问题设计“跳一跳”学生能够“够得到”，“示意图”的核心方法，请形上数，以形助数，数形统一，让学生在问题螺旋式上升的探究中感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，在浓浓的函数味道中强化函数学法，切实感受数学之美。

教无定法，教师通过把握教学的“度”来设计创新，需要以问题情境为载体，围绕数学活动，在师生互问互动中引导学生“悟道”，循“知识理解——知识迁移——知识创新”的序，关注探究中学生深度学习是否发生，“思维想象的教学”是否落地生根，这些应该成为培育学生核心素养下数学课堂的永恒追求。