纤维质多孔材料中纤维间接触点数量的理论模型

白 赫， 钱晓明， 范金土,3， 钱 幺， 刘永胜， 王小波

(1. 天津工业大学 纺织科学与工程学院， 天津 300387； 2. 天津师范大学 物理与材料科学学院，天津 300387； 3. 香港理工大学 纺织及服装学系， 香港 999077)

纤维质多孔材料中纤维间接触点的数量是分析该类材料性能的重要参数之一，其与产品的力学性能[1]、孔隙率和孔径分布[2-3]、过滤性能[4-5]相关。最早应用在研究多孔介质内部孔径分布的理论是泊松多边形法[6]，利用二维泊松分布构建多边形，并指出所构造多边形多为四边形，再以多边形内切圆的半径表示孔径大小，研究结果表明孔径分布与多边形数量呈负指数关系，该结论也在文献[7-8]中使用Monte-Carlo方法得到了验证。Komori和Sampson等[9-10]结合数学统计理论，研究了纤维在三维空间随机分布情况下，纤维间接触点数量与纤维直径、体积分数的函数关系。但由于纤维质多孔材料结构具有微观各向异性的特征，因此，应考虑纤维取向对结构的影响。

本文以泊松多边形理论为基础，建立了纤维质多孔材料内部纤维间接触点数量与纤维空间分布的函数关系，分别研究纤维在二维和三维分布情况下，纤维数量对其接触点数量的影响。使用Geo-Dict软件模拟纤维结构并与理论预测值和前人研究结果相比较；最后根据Sampson等的研究结果，提出了纤维接触点数量与孔隙率的关系。

1 纤维间接触点数量的理论模型

在研究纤维类多孔材料内部纤维间接触点数量的问题时，为简化数学模型并在最大程度上体现物理过程，应做如下研究假设：第一，所有纤维均为不可弯曲的圆柱体，直径为D(μm)，长度为lf(μm)；第二，各纤维质心在平面随机分布；第三，当纤维长度远大于其直径时，忽略纤维各端点间的连接。

首先，建立笛卡尔坐标系X、Y、Z表示纤维结构，假设纤维M与Z轴夹角为θ，该纤维在X-Y平面的投影与X轴的夹角为φ，因此，多孔介质中纤维取向角可用参量(θ,φ)表示，且0≤θ≤π, 0≤φ≤π，笛卡尔坐标系如图1所示。

图1 纤维笛卡尔坐标系Fig.1 Cartesian coordinate system and a fiber in system

在微小变化取向角θ～θ+dθ和φ～φ+dφ中，存在纤维的概率为Ω(θ,φ)sinθdθdφ，其中Ω(θ,φ)sinθ为纤维取向密度函数，且满足归一化条件[11]：

(1)

假设在多孔材料体积V中存在取向为(θ,φ)的纤维A和取向为(θ′,φ′)的纤维B，令纤维B的表面与纤维A表面接触，固定纤维A并使纤维B沿其表面滑动，再固定纤维B并使纤维A沿其表面滑动，将移动后形成的各端点依次连接后构成高为2D，长为lf的空间平行六面体，如图2所示。

图2 纤维A与纤维B交替滑动所构成的平行六面体Fig.2 Parallel hexahedron formed by alternating sliding of fiber A and fiber B

则所构成的平行六面体的体积Vfc为

(2)

式中，χ为纤维A与B间的夹角，也是所构成菱形两边的夹角，(°)。该角度与纤维取向(θ,φ)的关系为

cosχ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(φ-φ′)

(3)

显然，当取向为(θ′,φ′)纤维的质心进入区域Vfc中就必然和纤维A相接触。设纤维多孔材料的体积为V，纤维A(θ,φ)与纤维B(θ′,φ′)的接触概率为P1，即

(4)

当2个纤维接触时，其接触部分长度为D/sinχ1，如图3所示。

图3 纤维交叉结构Fig.3 Structure of fiber contact

由于纤维长度有限，故纤维间第2次可能接触的实际长度范围变为lf-(D+D/sinχ1)，那么纤维A与其他任一纤维的第2次接触概率为

(5)

由于纤维间接触概率为独立事件，因此,可推导出第i+1次纤维间接触的概率为：

(6)

(7)

式中，M(θ,φ)为纤维取向角分布概率的均值。

设剩余N-1根纤维与纤维A(θ,φ)接触点数量为n(θ,φ)，由于纤维间接触点数量N>>1，故单根纤维接触点数量的值可近似表示为

(8)

(9)

对式(6)求和可得到：

(10)

Φ(θ,φ)=〈sinχi〉=

(11)

根据统计学理论知，系数为bi的变量xi的混合平均值可表示为

〈bixi〉=〈bi〉〈xi〉

(12)

(13)

设n(θ,φ)足够大，有n(θ,φ)+1→n(θ,φ)。联立式(7)、(12)和(13)可得单根纤维接触点数量为

(14)

式中，Vf=Vfc/V。对式(14)三维所有取向角积分可得到任意两纤维间接触点的平均值为

(15)

为使表示简洁，令：

(16)

(17)

那么，在多孔材料体积V中所有纤维间接触点的数量可表示为

(18)

2 纤维取向对纤维间接触点数量影响

目前对纤维类多孔材料结构研究的方法主要有断层扫描技术[12]、冷场电镜技术[13]以及数字图像处理技术[14]，虽然这些技术能表征多孔材料内部的虚拟结构，但对纤维间的接触规律的研究较少，本文研究使用Geo-Dict软件构建纤维类多孔介质模型，通过设定纤维特殊取向，模拟并分析纤维间接触点数量，同时与Wyk、Komori和Pellumb等的研究结果相比较。

Wyk[15]通过计算多孔材料内纤维间的平均距离，得出三维随机分布纤维间接触点数量的理论值为

(19)

Komori等[9]在Wyk研究的基础上，提出了纤维在三维(nk3-D)和二维(nk2-D)空间随机分布的理论值分别为：

(20)

(21)

Pellumb根据多孔材料中电阻率的分布近似服从幂律函数[16]，得到纤维间接触点的数量为

(22)

式中：S0为纤维间接触面积，μm2；b为幂律指数，且根据实验拟合得出b=1.475。

2.1 纤维三维随机分布

对于三维随机分布的纤维结构，取向分布参数θ和φ的取值对分布无影响，此时纤维分布的密度函数[17]为：

Ω(θ,φ)=Ω(θ′,φ′)=

(23)

sinχ(0,0;θ′,φ′)=[1-cos2θ′]1/2=sinθ′

(24)

将式(23)和(24)分别代入式(7)和(13)得到

(25)

(26)

将式(25)和(26)代入式(17)中有

(27)

将式(25)～(27)代入式(14)中可得到任一纤维接触点的平均值

(28)

利用式(18)可计算出在体积V中纤维间接触点的总数为

(29)

利用Geo-Dict软件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm的计算域，并生成2种直径和长度相同的纤维(D=10 μm,lf=500 μm)，分别以深灰和浅灰色表示，纤维在空间的随机分布如图4所示。在模拟过程中，通过设置不同的纤维数量构造多孔材料内部结构，使用软件中Mat-dict模块分析结构特征，并将理论与模拟值做出比较，结果如图5所示。

图4 三维随机分布纤维结构模拟Fig.4 Three-dimensional random distributionfiber structure simulation

图5 纤维数量与纤维间接触点数量的关系Fig.5 Relationship between number of fibers and fiber to fiber contact

从图5可以看出，当纤维长径比不变时，纤维间接触点数量随纤维数量增加而增加，呈近似线性关系。当纤维数量低于800根时，Komori和Pellumb理论值与本文研究结果相近，当纤维数量增加后，各模型间的差异性明显，但是可以明显看出，Wyk模型的理论值均高于其他模型。随着纤维数量增加，当纤维数量大于1 000根时，本文研究的模拟值开始高于理论值，其主要原因是使用Geo-Dict软件建模过程中，随着纤维数量的增加，在计算域内会形成不可避免的纤维间重叠，从而增加了纤维间接触的数量。整体来看，模拟结果与理论值符合程度较高。

2.2 纤维二维随机分布

当纤维在二维平面随机分布时，θ=π/2，0≤φ≤π，纤维取向密度函数可利用狄拉克函数变换得到：

(30)

同样，由于纤维随机排列，因此，取向角值的选取是任意的，可计算出：

(31)

(32)

(33)

(34)

将式(32)、(33)代入式(17)中可得：

(35)

那么，在体积V中所有纤维间接触点的数量可表示为

(36)

同样使用Geo-Dict软件建模，令2种纤维在X-Y平面随机分布，并以深灰和浅灰色区分2种纤维，模拟结构如图6所示，图7示出纤维数量与纤维间接触点数量关系。

图6 X-Y平面随机分布纤维结构模拟Fig.6 Simulation of randomly distributed fiber structure in X-Y plane

图7 纤维数量与纤维间接触点数量关系(X-Y平面)Fig.7 Relationship between with number of fibers and fiber to fiber contact(X-Y plane)

从图7可以看出，当纤维数量低于1 000根时，理论值和模拟值近似，但随着纤维数量增多，纤维在空间中的重合概率增加，导致本文模拟值偏高。而Komori的理论值均高于本文研究结果，其主要原因是在计算纤维接触的概率时，前者没有考虑纤维间接触后不能再次接触的问题，从而造成纤维可能会在相同位置形成接触，而这种接触在客观环境下是无法产生的，因此，Komori的理论值要高于本文模拟结果。

3 纤维间接触点数量与孔隙率的关系

对纤维质多孔材料的几何模型的研究主要以统计学理论为基础[18-19]，认为多孔材料内部纤维分布规律为泊松过程，Sampson[20]指出，在边长为x，高为2D的空间中纤维的数量与孔隙率的关系为

(37)

式中，ε为孔隙率。因Sampson研究的为单层纤维结构，而实际工业生产中纤维质多孔材料以多层为主，借鉴Kuwabara在研究流场分布与纤维排列问题上采用的Cell模型[21]，将Sampson的研究域作为代表性单元，则实际计算域体积V中应包含纤维的数量为

(38)

式中，k=H/2D，H为材料厚度，μm。联立式(8)和(14)可得到

(39)

将式(39)代入式(15)中可得

(40)

根据Kallmes等[22]的研究结果，二维平面随机分布纤维接触点数量与孔隙率的关系为

(41)

使用Geo-Dict软件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm 的计算域，设置纤维长度为500 μm，直径从5 μm递增至25 μm，将不同孔隙率下所得软件模拟数值与所研究的理论值和Kallmes模型比较，结果如图8所示。

图8 不同孔隙率纤维直径与纤维间接触点数量关系Fig.8 Relationship between with fiber diameter and fiber to fiber contact in different porosity

从图8可以看出：当孔隙率固定时，纤维直径与纤维间接触点数量呈近似反比关系，且随着孔隙率的增加，纤维间接触点数量明显减少，当纤维直径超过40 μm后，接触点数量近似相同；当纤维直径不变时，纤维间接触点数量随孔隙率的增加而减小。通过比较Kallmes和本文的理论发现，虽然二者间存在偏差，但当孔隙率不变时，随着纤维直径增加，二者变化趋势相同，而Geo-Dict软件的模拟结果更加符合本文所提出的理论模型。

4 结 论

对纤维质多孔材料的微观结构特征进行研究，建立了纤维间接触点数量的理论模型，提出了有限接触长度区域，分别推导出纤维在三维和二维分布情况下纤维间接触点数量的理论模型；使用Geo-Dict软件建立纤维模型，将三维和二维随机分布纤维质多孔材料内部纤维间接触点数量的理论值和其他学者的研究结果相比较，得出纤维数量与纤维间接触点数量呈线性正比关系；根据Sampson等的研究结论，建立孔隙率与纤维间接触点数量的关系，当纤维在二维平面随机分布情况下，纤维直径与纤维间接触点数量呈反比关系，且随着孔隙率增加接触点数量减少明显。