学科整合让数学深度学习真正发生

刘胜峰

新时代社会对未来人才的要求强调注重实践能力培养、综合素质养成以及创新能力的提升，跨学科、跨文化、跨界的学习已经成为当前课程改革的发展方向。学校教育不仅需要多学科的基础知识累加，还要在课程学习过程中发展学生适应未来社会需求的综合应用知识解决问题的能力。课程整合是落实核心素养培养目标的主要抓手，有助于打破学科间的壁垒，能较好地培养学生综合运用已学知识和已有技能解决真实情境下的实际问题的能力。

课程整合既有跨学科整合，又有学科内整合。小学数学在自己的学科内进行整合教学，是从中观的课程建构和微观的课堂教学角度研究学科关键能力的落地路径。在数学学科内整合时，教师要能够从小学一年级到六年级一以贯之，并进行比较、联系、统整，激活小学各阶段的数学学习，丰富和延展学科教学，从而让数学深度学习真正发生。笔者认为，组合、整理、协调、串联是实现数学学科内整合的有效方法。

一、组合相近知识，强化数学模型的体验

数学知识是建立在约定和逻辑之上的，数学知识是一个有机整体，且在不断发展完善。为了让学生更充分地认识到数学知识间的整体联系，构建数学知识框架，教师就要抓住数学学科本质和特殊性，把相近的数学知识嵌入核心概念模型中，将相近的数学知识进行模块化组合，让学生明白每个知识点在整体结构中的位置，以及与邻近知识点的区别和联系。教师可以把内部结构相同、在知识发展体系中作用相近、学习基础相似的知识内容整合在一起进行教学，有机地将相近的数学知识融入一个结构相对一致的体系中去学习，帮助学生更准确地认识数学知识的本质，提升学生的数学抽象、推理能力，强化数学模型的体验。

例如，运算定律是一种模型化知识，在不改变运算结果的前提下灵活处理运算顺序，可以达到简便易算的目的。人教版数学四年级下册的交换律，其表达式是一个恒等式，在对原来的算式进行等值变换过程中，只是数的位置变化了，其他都不变。因此在教学本单元内容时，笔者把加法交换律和乘法交换律这两课时的内容整合在一节课中，在学生学习完加法交换律之后，教师提出问题：“加法运算中存在着交换加数和不变的关系，其他运算中是否也存在这类关系呢？”学生在以前的计算和解决问题的活动中，积累了不少四则运算的经验，已经不知不觉地认同了“加法交换律和乘法交换律”这两个规律结构，有着丰富的认知基础。因此，在实际教学中，学生能很快地列举出许多运算例子。有的学生直接列举乘法交换律的算式，提出两者的相同特征;有的学生说明除法和减法没有交换律，如“30-5=25，5-30不等于25”“30÷6=5，6÷30不等于5”。经过比对所列举的式子中的相同定律特征，学生清晰地看到“加法交换律”和“乘法交换律”的相同本质要素——两个数的位置变了，结果不变。在接下来总结乘法交换律教学中，学生就可以很轻松地用数学的语言表示乘法交换律，对交换律的结构认识非常深刻。

笔者还把具有相同逻辑结构的“连减、连除”两个简便性质的教学内容整合在一起。这样，学生很容易就掌握了“234-66-34=234-（66+34）”“180÷5÷6=180÷（5×6）”这两类简便运算。上述案例有利于帮助学生建立交换律的“等值变形”模型，加深了学生对交换律模型的理解。这样组合相近知识展开教学，有助于让学生体会变与不变的数学思想，有利于学生在学习过程中发现和归纳规律，建构数学模型。

二、整理同类方法，完善认知结构的构建

数学是一门逻辑性、严密性和系统性很强的学科，整个小学阶段的数学知识结构循序渐进，小学数学的学习具有突出的阶段性、有序性。因此，教学过程中教师要有机整合小学阶段数学学习的同类方法，让学生常常对数学方法进行模仿迁移，自主地系统建构普适性数学方法。如在教学复习课时，我们可以梳理同类的数学方法，帮助学生整体认识数学知识，将已学到的一个个碎片化的数学方法系统整理起来，实现质变的突破。

在教学数学六年级下册“图形与几何”复习课时，笔者对图形面积这一领域的内容进行了整合，帮助学生系统认识探求面积（平面图形）的相同过程，感悟图形测量中蕴含的思想方法。先让学生看图形想面积计算公式，分别整理出平面图形的周长与面积计算公式;接着引导学生讨论不同图形的面积推導过程是什么;然后让学生看视频回忆探索各图形面积计算公式的过程，从“转化”的先后顺序、共同存在的“等积变形”等方面整理探索各平面图形面积计算公式的内在联系（如图1）;最后组织学生小组合作，绘制各平面图形面积计算公式推导过程的“思维导图”。学生发现各平面图形都采用了划分、割补的方法，把它们转化成长方形或已学过的图形，从而推导出面积公式。在这个教学过程中，学生感悟了等积变形的数学思想。如此整合教学，有助于引导学生追溯面积公式的由来，领悟割补转化的数学思想，形成探究图形本质的方法，实现“温故而知新”。

此外，与运算相关的知识，从整数到小数、分数，许多算法是相同的，算理也是一脉相连的。我们可以整合同类算理的教学，通过联系旧知，剖析新知的算理本质，让学生发现其中的共性。如在教学“异分母分数计算”的最后部分时，笔者组织学生观察对比3组算式（如图2）。学生很容易就发现：整数、小数、分数的加、减计算，都是要求计数单位相同才能直接相加减的，从而实现结构化的认知。

三、协调关联情境，增强学科育人的效果

在三维目标的基础上提出数学核心素养，并不是抛弃三维目标，而是在其基础上深化和发展，直指向育人。数学学科育人的重要途径就是通过数学情境渗透学科思想进行育人，教师可以通过协调数学问题情境，借助每种情境的特质展开针对性教学，有效地帮助学生内化数学的情感、态度和价值观，使得相关数学育人主旨落到实处。

运用直观手段是丰富学生表象积累最有效的办法。教学“数的运算”时，我们可以把图形与几何领域里的同类问题情境协调整合在一起，借助有效的观察思考，帮助学生建立丰富的表象，突出比较、分析、抽象和概括等数学能力的培养，增强数学思想方法的渗透效果。如图3，把乘法分配律的理解与求两个长方形面积的问题情境整合在一起，这两个同类数学情境，学生都很容易理解，形象直观，不仅能更有效地渗透数形结合思想，也能凸显具体运算问题和一般数学原理之间的关系。

1.25×0.8+1.25×0.4=1.25×（0.8+0.4）

禅学中有这样一则故事：徒弟问师傅，一碗米值多少钱？师傅略加沉思，说：那要看在谁的手里。要是在一个家庭主妇手里，她加点水蒸一蒸，半个钟头，一碗米饭出来了，那就值一块钱;要是在小商人手里，他把米泡一泡，分成四五堆，包成粽子，那就值四五块钱; 要是到了一个更有头脑的大商人手里，把它发酵、蒸馏，酿成一瓶酒，有可能值二三十块钱。同样是一碗米，到底值多少钱，会因人而异，关键取决于如何处理。其实，我们的数学情境也是这样，同样是一个问题情境，不同的理念，就会有不同的效率和价值。有的数学情境教给学生一点知识，有的教给学生一种方法，有的传授给学生一种思想，有的激发起的是学生求知热情。数学核心素养的培育、发展离不开丰富的情境，数学学科核心素养要求学生不仅掌握解决真实情境问题所需的知识和技能，还要具备解读与解决情境问题的情意和态度。教师把相关联的数学情境协调在一起，可以帮助学生对多样化世界中纷繁复杂的真实数学问题进行统整性抽象总结，促进学生将习得的数学素养迁移到不同的问题情境，更有效地促进学习迁移，也能提高学生对真实复杂数学情境的认知、辨别、顿悟，以及知识、能力、态度的综合体现，促进学生学习体验、动手实践及创新发展能力的提高。

四、串联相近活动，延伸数学学习的轨迹

整合课程的根本目的是优化课堂教学，切实提高数学教育的质量和实效。基于一定的培养目标与数学主题，从“项目”的角度去串联相近的数学学习活动和教学形式，构成系列的数学学习活动模块或单位，可以超越原有对知识的“点”式理解，从更高层次思考知识在真实情境中的可能性。教师要善于构建数学学习活动的“延伸点”，注重发挥课外活动、社会实践和学科文化的重要作用，拓宽教学时空，加强课内课外、校内校外、书本内外的教育合力。

比如，笔者以“位置与方向”为例进行“大单元”的教学设计。第一课时，组织学生学习学科知识，完成教科书上的内容学习。第二课时，进行与“位置与方向”有关的绘本阅读教学，把《寻找神秘宝藏》这本绘本引入数学课堂，进行拓展教学。第三课时，让学生将所学到的知识技能运用到生活中。笔者在班级里的某个角落藏着多个神秘的“宝藏”，然后发给每个小组一张相关的线索，如“以教室第三组第三桌某同学的位置为起点，东偏北30度5米的位置”等，学生运用卷尺、指南针等工具进行寻找宝藏活动。第四课时，要求学生绘制校长室这一建筑标识的位置与方向，学生应用知识完成指定的数学实践任务。

新知識的构建依赖于已有知识，相近的几个数学活动能促使学生运用多种感官去观察、体验、感悟、思考，得出更有价值的观点或结论，获得更多对数学知识解决生活问题的真实感受，从而实现数学深度学习。教师在延伸数学主题活动时，对已有的教学环节添加想要改善的元素，减去一些教学中不必要的环节，将以往教学中的某一部分替换为学生更容易参与的教学活动，引导学生在实践中运用知识，学生的学习效果往往会超出教师的预期，从而取得良好的教学效果。这样探究体验、反复实践的数学学习，有利于学生对数学本质的深度认识和理解，也有利于学生对数学学习行为和学科精神认识的内化，产生自主、自觉的道德行为。

数学新课标指出：教师要具备整合课程资源的能力，创造性地完成教学任务。在学科内整合小学数学的课程与教学，教师要沉下心来钻研科学的学科整合路径，摆脱教材、教参、课标等的束缚，进行积极探索和尝试。教师要提升专业素养，深入解读数学知识，融入自己的教育智慧，才能有所创造，使得通过整合后的教学更符合学生的实际，从而显著提高教育教学质量。

（作者单位：福建省厦门实验小学）

责任编辑 周瑜芽