解答零点含参问题的常见方法

☉广东省清远市第二中学 汤华英

零点含参问题是高考的热点题型之一，其常见题型有：已知函数的零点个数求参数的取值范围；或由已知条件求函数的零点个数.解决函数的零点问题，通常可以采用数形结合法、分离参数法和分类讨论法.

一、数形结合法

例1（2017年新课标全国Ⅰ卷理科·21）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

解：（1）因为f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，所以f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）.

所以当a≤0时，f′（x）＜0在R上恒成立.所以f（x）在R上单调递减.

综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，上单调递增.

（2）由（1）可知：当a≤0时，f（x）在R上单调递减，至多有一个零点，与题设不符.

图1

综上所述，a的取值范围为（0，1）.

例2（2018年新课标全国Ⅰ卷理科·9）已知函数存在2个零点，则a的取值范围是（ ）.

A.［-1，0）B.［0，+∞）C.［-1，+∞）D.［1，+∞）

解：g（x）存在2个零点等价于方程g（x）=0存在2个解，等价于方程f（x）=-a-x存在2个解，等价于y=-a-x和的图像存在2个交点.在同一直角坐标系中，画出y=-a-x和的图像，如图2所示.

图2

小结：数形结合法是解决零点含参问题的法宝，首先从数的角度讨论函数的单调性，再从形的角度画出符合题意的函数图像，然后结合图像回答问题.对于常见的三次函数、二次函数或者是导函数的解析式相对简单的函数零点问题，用数形结合法会使得问题迎刃而解.

二、分离参数法

例3已知（fx）是定义在R上的函数，且满足：①（f4）=0；②曲线y=（fx+1）关于点（-1，0）对称；③当x∈（-4，0）时，（fx）=log2.若y=（fx）在x∈［-4，4］上恰有7个零点，则实数m的取值范围是（ ）.

解：因为曲线y=（fx+1）关于点（-1，0）对称，所以曲线y=（fx）关于点（0，0）对称.

所以（fx）在R上是奇函数.所以（f0）=0.又因为（f4）=0，所以（f-4）=0.而y=（fx）在x∈［-4，4］上恰有7个零点，所以当x∈（-4，0）时，（fx）=log2）有2个零点.又因为当x∈（-4，0）时，f（x）=logm），所以当x∈（-4，0）时有2个零点转化为xex+ex-m=1有2个不同的解，即xex+ex-1=m有2个不同的解.令g（x）=xex+ex-1，y=m，则g（x）=xex+ex-1与y=m的图像有2个交点.因为g′（x）=ex+xex+ex=ex（x+2），所以g（x）在（-4，-2）上单调递减，在（-2，0）上单调递增.而（0）=0，故函数g（x）在（-4，0）上的图像如图3所示，所以要使g（x）=xex+ex-1与y=m有2个交点，只需，所以A选项是正确的.

图3

小结：分离参数法是解决零点含参问题的另一种重要方法，需要用到函数与方程的转化思想，先将原函数y=f（x）的零点问题转化为方程f（x）=0的解的问题，再转化为两个新函数y=g（x）与y=m图像的交点问题.分离参数法不仅可以回避对参数的分类讨论，而且参数的取值范围更加形象、直观.

三、分类讨论法

例4（2015年新课标全国Ⅰ卷理科·21）已知函数

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=（fx）的切线；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{（fx），g（x）（}x＞0），讨论h（x）零点的个数.

解：（1）f′（x）=3x2+a.设曲线y=（fx）与x轴相切于点P（x0，0），则：

（2）①当x∈（1，+∞）时，g（x）=-lnx＜0，所以h（x）=min{（fx），g（x）}≤g（x）＜0.所以h（x）在（1，+∞）上无零点.

③当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx＞0，所以只需考虑f（x）在（0，1）内的零点个数.

因为f′（x）=3x2+a，所以当a≥0时，f′（x）＞0在（0，1）上恒成立.又因为，故此时（fx）在（0，1）上没有零点.

小结：分类讨论法就是根据题目所给的已知条件，通过对参数进行分类讨论，进而对题目中的数学问题进行分类讨论，然后对划分的每一类问题进行研究和求解，它所体现的是化繁为简、化难为易、逐个解决的数学思想.怎样分类是一个难点，而怎样分类又是一个自然而然的过程，因此要确定一个函数零点的个数，除了要掌握以上的方法，还需要较好地掌握函数的单调性与零点存在性定理等知识.