一种改进小波阈值函数的信号去噪

郝建军,刘勇刚,廖 刚,徐 童,陈家栋

(重庆理工大学 机械工程学院， 重庆 400054)

信号去噪是信号处理领域的经典问题之一。传统的去噪方法主要包括线性滤波和非线性滤波，其不足之处在于使信号变换后的熵增高、无法刻画信号的非平稳性且无法得到信号的相关性[1]。小波变换自提出以来，在许多工程技术领域均得到了较好的应用。在故障诊断的分析过程中，需要对该过程所产生的信号进行采集与处理，信号在采集与传输的过程中，会不可避免地受到大量噪声信号如机械噪声、电磁噪声的干扰。小波分析能同时对信号的时域和频域进行分析，较好地区分信号中的突变部分和噪声，进而对信号进行去噪[2]。

小波去噪的关键在于阈值函数的选取，其在一定程度上关系到信号去噪的质量，硬阈值和软阈值是小波去噪最常用的函数，硬阈值方法可以很好地保留信号边缘等局部特征，软阈值处理要相对平滑，但会造成边缘模糊等失真现象[3-6]。随着小波分析的不断深入，不同改进阈值函数的算法也相继提出：半软阈值函数作为一种改进的阈值算法可以兼顾软硬阈值方法的优点，相对于软硬阈值函数方法较好地保留了原始信号的特征[7-8]。本文采用一种新型的改进阈值函数的算法对采集到的信号进行去噪，同时通过实验比较，选取最优的小波基函数和分解层数，在不同阈值情况下，以信噪比和均方根误差为准则，进而判断信号去噪效果。信噪比越大，均方根误差越小，信号去噪效果越好，越接近原始信号[9]。实验结果表明：本文提出的改进阈值算法的小波去噪所取得的去噪效果更优于软硬阈值和半软阈值。

1 小波阈值去噪原理

在故障诊断、信号检测领域，常常需要对信号进行预处理，由于采集到的信号包含各种干扰噪声，在对信号进行预处理的过程中需要对信号进行去噪，避免干扰噪声对故障诊断的影响。小波去噪的基本原理表现为：先对信号进行若干层小波分解，提取各层高频小波系数，再选取合适的阈值，若小波系数大于该阈值，则认为该系数主要是由噪声引起的，将这部分系数去除；若小波系数小于该阈值，则认为该系数是由信号引起的，进而保留这部分系数。对高频部分的信号进行阈值处理进而滤除高频部分的噪声达到去噪的目的[10-11]。

小波去噪的过程主要包括3个部分：信号分解—阈值量化—小波重构。

1) 选择合适的小波基函数和分解层数对信号进行多尺度小波分解，同时得出各尺度的小波系数；

2) 对各分解尺度下的高频系数选择合适的阈值函数和阈值进行阈值量化处理；

3) 根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行小波重构得到去噪后的信号。

2 小波变换阈值函数的改进算法

在设计阈值函数的过程中，应尽量使函数具有连续性和高阶可导性，传统的硬阈值函数和软阈值函数并不具备高阶可导性，有研究者提出半软阈值函数的去噪方法，其表达式如下：

(1)

其中：0

本文提出的阈值函数综合前面所述阈值函数的优点，函数曲线较各阈值函数较为光滑，改进的阈值函数的表达式如下：

(2)

其中：0<α<1；m∈R+；t表示阈值大小。式(2)优化了在±t处的连续性问题，在信号重建时避免了一些附加震荡，同时优化|η(ω)-ω|的误差问题，使经阈值函数处理的高频系数在重建后减少了信号的失真。

图1 各阈值函数曲线

由图1和式(2)可知：该阈值函数具有连续性和高阶可导性，此函数在阈值t附近存在一个平缓的过渡带；此外，函数在直线η(ω)=ω时逼近程度较好，这样不仅可以去除|ω|≥t时的噪声，还不会像软阈值那样在η(ω)和ω之间存在偏差。从该函数还可以看出：当α→0，m→∞时，该函数退化为硬阈值函数；当α→1，m→0时，该函数退化为软阈值函数。可以通过调节α和m值的大小使阈值函数灵活变换，达到对信号灵活去噪的目的，本文所提出的阈值函数令α=2，m=0.2。

3 改进阈值函数去噪试验

为了验证新阈值函数的有效性，本文通过Matlab对信号进行仿真验证，在小波工具箱中装载一段leleccum信号，取1 024个采样点，并随机生成噪声信号。对含噪信号分别进行硬阈值、软阈值、半软阈值与改进阈值函数去噪以此来验证该方法的有效性，生成该信号的信噪比SNR=26 dB，仿真实验所采用的小波基函数为sym6小波基，分解层数为3层。图2为在Matlab小波工具箱中生成的原始信号；图3为加了噪声之后的含噪信号；图4～7为采用各种阈值函数处理之后的信号。本文采用信噪比(SNR)与均方根误差(RSME)的评价指标来判别改进阈值与传统阈值函数去噪效果。信噪比越大，均方根误差越小，去噪后信号更接近原始信号，去噪效果越好[12-16]。信噪比表达式为：

(3)

均方根误差的表达式为：

(4)

其中s(n)表示原始信号，y(n)表示去噪后的信号。

图2 原始信号

图3 含噪信号

图4 硬阈值去噪信号

图5 软阈值去噪信号

图6 半软阈值去噪信号

图7 改进阈值去噪信号

从上述图中可以看出：硬阈值函数去噪后的信号存在较多的尖峰，软阈值函数去噪后的信号相较于硬阈值函数尖峰减少，但还是存在模糊点，与原始信号接近程度效果还不理想，半软阈值综合了软硬阈值的优点，但与原始信号接近程度不够高。从图7可以看出：改进阈值函数处理后的信号与原始信号最接近，由此验证了本文提出的改进阈值函数可以取得更好的去噪效果。为进一步验证该方法的有效性，选取不同的小波基对信号进行去噪，小波分解层数为3，本文选取的小波基函数分别为sym6、db6、coif5。比较各阈值函数去噪后的信噪比(SNR)和均方根误差(RSME)，各阈值函数去噪信噪比和均方根误差如表1所示。

从表1可以看出：通过选取其中较常用的小波基函数对信号进行去噪处理，改进阈值函数的去噪效果均优于前3种阈值函数，计算得到的信噪比越高，均方根误差越小，由此可以验证在不同的小波基函数下该改进的阈值函数的有效性。

此外，通过选取不同的阈值也可以得到不同去噪效果的信号。阈值的选取包括4种：无偏似然估计阈值(rigrsure)、固定阈值(sqtwolog)、启发式阈值(heursure)、极大极小阈值(minimaxi)，小波基函数为sym6，分解层数为3，4种阈值得到的去噪效果如表2所示。

表1 各阈值函数降噪结果

表2 各阈值选取对信号的降噪结果

各阈值函数在不同阈值情况下去噪的信噪比和均方根误差如表2所示，从表中可以看出：不管在何种阈值情况下，改进阈值函数对信号去噪后的信噪比均高于软、硬阈值和半软阈值函数；均方根误差均要低于前述3种阈值函数。由此可以验证改进阈值函数对信号具有更好的去噪效果。

4 结束语

本文在原有阈值函数的基础上提出了一种改进的阈值函数，并在实验中通过产生一段仿真原始信号加随机噪声对其进行去噪发现，改进阈值函数对信号的去噪效果要优于软、硬阈值和半软阈值函数；为进一步验证该改进阈值函数的有效性，本文还在不同的小波基函数和不同阈值情况下对信号进行去噪仿真比较各阈值函数的信噪比和均方根误差。试验结果表明：在不同的小波基函数或不同阈值选取原则下，改进的阈值函数对信号的去噪效果均优于前3种阈值函数，去噪所得信噪比更高，均方根误差更小，进而验证了本文提出的改进阈值函数的有效性。