一种基于接收信号强度和到达角的三维组合定位方法

张瑞玲

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏 扬州 225101)

0 引 言

与主动定位技术相比，被动定位技术因其隐蔽性和安全性好、成本低等优点，在无线通信、无线传感器网络(WSN)、卫星导航、电子侦察等领域应用广泛。针对不同应用场景的需求，先后提出了基于到达时间差(TDOA)、到达角(AOA)、接收信号强度(RSS)和到达频差(FDOA)等以及它们的组合定位体制[1]。随着高铁、无人机、新一代北斗导航系统的发展，适合于高速运动场景的定位体制越来越受到关注。在众多的定位体制中，基于接收信号强度和到达角的定位系统，不需要精确的时间同步系统，更容易实现，更适合高速运动场景。

对于接收信号强度定位系统而言，其对各定位站的硬件要求较低且容易实现，代表性的系统有RADAR[2],QRSS[3],SpotOn[4]和Nibble[5]等。针对RSS定位体制，先后提出了很多定位求解算法。最大似然(ML)类算法虽然具有理论上最优且接近克拉美罗界(CRB)的性能，但是其实现需要多维搜索或非线性优化，计算量过大，难以应用于实时系统[1]。为此，研究人员提出很多低计算复杂度的方法，如半正定规划(SDP)[6]、线性最小二乘(LLS)[7]、改进线性最小二乘(IILS)[8-9]等。但是，现有RSS定位方法对大的RSS估计误差条件下性能较差，且难以应用于三维定位。

对于到达角定位系统而言，其定位精度高且无需精确时间同步系统，易于实现，代表性系统有APS[10]、SDP[11]、NCPS[12]等。与RSS定位体制类似，AOA定位体制理想最优定位求解算法亦是ML算法，但是也同样存在运算量大的问题。其相应的低计算复杂度方法与RSS体制类似，如LLS和ILLS[1]等。但是现有的AOA定位算法主要关注二维定位，对于三维定位的研究相对较少。针对三维AOA定位，Dogancay等人[13]首先提出利用方位和俯仰角的测向伪线性估计(BOPLE)方法，该方法的突出优点是线性且易于实现，但是当测向误差增大的时候，线性近似的误差会引起定位性能的急剧恶化。因此，文献[14]提出利用坐标系旋转的方法降低近似误差。进一步地，Dogancay等人[15]提出两步加权辅助变量法对偏差进行补偿，有效地提高了定位性能。同时，Wang等人[16]提出了约束最小二乘法，具有渐进最优定位性能。但是，现有仅利用AOA的定位方法，其性能在大的角度测量误差情况下，难以实现高精度定位，满足实际应用需求。

因此，针对上述仅利用RSS和AOA信息的定位，特别是三维定位，难以适应大测量误差定位需求的现状，本文拟结合2种定位体制的优势，采用基于RSS和AOA的三维组合定位体制。首先，建立该定位体制的非线性定位方程；然后，利用一阶泰勒展开得到近似线性定位方程；再次，为降低测量误差的影响，提出基于加权最小二乘的定位求解算法；最后，通过仿真实验结果表明，与仅利用角度信息的BOPLE方法和仅利用RSS信息的ILLS方法相比，在大角度和接收信号强度测量误差的情形下，本文所提基于RSS和AOA的三维组合定位方法可以有效地实现更高精度定位。

1 定位模型

如图1所示，三维空间中有M个可同时提供AOA(包含方位角和俯仰角)与RSS测量值的观测站，M个观测站的位置为sm=[xm,ym,zm]T，m=1,2,…,M。假设空间中辐射源位置为p=[x,y,z]T，则第m个观测站与辐射源的真实方位角、俯仰角分别为：

(1)

(2)

图1 定位几何模型

同时，令第m个观测站接收到的辐射信号强度为Pm，由于信号强度通常受多种因素影响，直接利用信号强度的真实值意义不大，常常使用其相对值，即相对信号强度或到达增益比(GROA)。在这里，选择第1个观测站的辐射信号强度为参考，定义第m个观测站的GROA为：

gm=Pm/P1

(3)

与文献[17]类似，假设信号在自由空间视距传播，且不存在多径效应，则式(3)中gm可表示为：

gm=rm/r1

(4)

为了实现定位，首先需要给出该测量模型下的定位方程。由式(1)、(2)可知：

rm=[x-xm,y-ym,z-zm]T=p-sm=rmam

(5)

式中：rm=‖p-sm‖，表示第m个观测站与辐射源的距离；‖·‖表示向量的模值；am=[cosθmcosφm,sinθmcosφm,sinφm]T，上标T表示矩阵转置。

根据空间解析几何理论可知：

Amp-Amsm=0

(6)

式中：Am=[b1m,b2m]T，b1m=[sinθm,-cosθm,0]T，b2m=[cosθmsinφm,sinθmsinφm,-cosφm]T

根据式(6)可知：

2p=(rmam+sm)+(r1a1+s1)=

s1+sm-(rm-r1)a1+rm(am+a1)

(7)

根据矩阵理论，容易证明(am-a1)T(am+a1)=0，将其代入式(7)得：

2(am-a1)Tp=(am-a1)T·

[s1+sm-(rm-r1)a1]

(8)

利用式(4)中GROA和观测站与辐射源的相对距离关系，式(8)可表示为：

(1+gm)(am-a1)Tp=(am-a1)T(sm+gms1)

(9)

从而，将M个式(6)和M-1个式(9)写成如下定位方程：

h=Ap

(10)

但是，需要注意的是，观测值总是存在误差的，因此，在考虑观测误差的情况下，基于RSS和AOA的三维组合定位方程可表示为：

(11)

需要特别注意的是，这里的观测误差是由前述AOA和GROA的测量误差引起的，其分布较为复杂。

2 求解方法

通常情况下，可以假设AOA和GROA的测量误差服从零均值高斯分布，即：

[(εθ)T,(εφ)T,(εg)T]T～N(0,Q)

(12)

由式(11)知，由于定位方程各参量间的非线性关系，e的分布很复杂，其分布特征难以利用。因此，可以考虑对式(11)中噪声项进行一阶泰勒近似，即：

(13)

(14)

B=blkdiag{B1,…,BM}

(15)

Bm=-rmdiag{cosφm,1}

(16)

Γ=[d,L]

(17)

(18)

L=blkdiag{-r2H2a1,…,-rMHMa1}

(19)

(20)

Σ=blkdiag{-r1(a2-a1)Ta1,

…,-r1(aM-a1)Ta1}

(21)

以上各式中，blkdiag和diag分别表示块对角化和对角化。

经过式(12)的近似可知，定位方程的观测误差Gη近似服从均值为0，协方差矩阵为GTQG的高斯分布。因此，可以对p求得其加权最小二乘估计为：

(22)

式中：W=(GTQG)-1表示加权矩阵。

输入:θ～=[θ～1,…,θ～M]T,φ～=[φ～1,…,φ～M]T,g=[g2,…,gM]T,th,maxIter;输出:^p=[^x,^y,^z]T;初始化:W(0)=I3 M-1,^p(0)=[0,0,0]T,j=0;WHILE j

图2 算法伪代码

3 性能分析

(23)

从而，本文所提算法的均方根误差为：

E{Δp(Δp)T}≈(ATWA)-1=[(G-1A)TQ-1G-1A]-1

(24)

其次，分析本文所提基于接收信号强度和到达角的三维组合定位体制克拉美罗界。由文献[14]可知，CRB矩阵的逆可由下式表示：

(25)

(26)

(27)

根据式(16)和式(26)可知：

BmFm=Am

(28)

接着，利用式(14)～(21)和式(26)～(27)，容易导出：

(29)

(30)

进一步地，将式(30)代入式(25)，可以得到：

CRB-1(p)=E{Δp(Δp)T}

(31)

因此，本文所提算法性能与克拉美罗界一致。但是需要注意的是，本文所提算法中式(13)的近似要求观测误差较小时才可成立。因此，由以上分析可知，当观测误差较小时，本文所提算法性能可以达到克拉美罗界。

4 仿真实验与分析

本节通过仿真实验验证所提算法及其相关性能分析。为了更加清晰地凸显本文所提算法性能，选择仅利用AOA信息的BOPLE[13]方法和仅利用RSS或接收信号强度信息的ILLS[9]算法用于对比。

仿真实验一：假设3个观测站位置为s1=[1 000,0,0]T，s2=[0,1 000,0]T和s3=[0,0,1 000]T，辐射源位置为p=[500,500,500]T，各观测站接收信号强度的测量值标准差均为10-3，改变AOA的测量值标准差，从10-2变化到101，每个标准差下，进行1 000次蒙特卡洛仿真实验，统计估计的辐射源位置的均方根误差(RMSE)，所得仿真结果如图3所示。

图3 算法性能随到达角测量误差的变化关系

根据图3可知，本文所提算法在中等和小的角度测量误差情形下，性能与CRB一致，当测角误差增大时，式(13)的近似误差增大，引起较大的位置估计误差。本文所提算法在图中所有仿真参数条件下均优于仅利用角度信息的BOPLE算法，而与仅利用接收信号强度信息的IILS算法相比时，较小的角度测量误差时，可以明显改善定位性能，但是角度误差过大时，式(13)的近似误差增大，反而造成算法性能差于IILS算法。

仿真实验二：固定AOA的测量值标准差为10-1，改变接收信号强度的测量值标准差，使其从10-4变化到10-1，其余仿真参数设置与仿真实验一相同，相应的仿真结果如图4所示。

图4 算法性能随接收信号强度测量误差的变化关系

由图4可知，与图3类似，本文所提算法在中等以及较小的接收信号强度测量误差情形下，性能与CRB基本一致，但是当测角误差增大时，式(13)的近似误差增大，位置估计误差明显增大。与仅利用接收信号强度信息的IILS算法相比，本文所提算法始终更优，而与仅利用角度信息的BOPLE算法相比时，由于接收信号强度测量误差的增大会引起式(13)的近似误差增大，进而降低算法性能，使其差于BOPLE算法。

但是，从图3和图4可以看出，本文所提算法，无论是大的角度测量误差还是大的接收信号强度测量误差条件下，都可以实现有效的估计，即所提算法具有稳健的三维定位性能。

5 结束语

本文结合接收信号强度定位体制和到达角定位体制二者的优势，建立基于RSS和AOA的三维组合定位体制。首先，建立该定位体制的非线性定位方程；然后，利用一阶泰勒展开得到近似线性定位方程；再次，提出基于加权最小二乘的定位求解算法，有效地降低了测量误差的不利影响；最后，通过理论性能分析和仿真实验结果表明，与仅利用角度信息的BOPLE方法和仅利用RSS信息的ILLS方法相比，在大角度和接收信号强度测量误差的情形下，本文所提基于RSS和AOA的三维组合定位方法具有更稳健的定位性能。