运用逆向思维解决高等数学中的证明题

摘 要：逆向思维法是高等数学教学中创新性思维的重要方法，教学过程中有意识地对大学生进行逆向思维培养，有利于开阔学生的视野并活跃解题思路，从而提高他们分析及解决实际问题的能力，本文分析了在高等数学证明题中利用逆向思维的解题思路和方法。

关键词：高等数学；逆向思维；解题思路

一、 引言

高等数学具有高度抽象性及较强的理论性，学习高等数学课程内容是理工科大学生由直观形象思维向抽象逻辑思维的思维模式过渡的重要阶段，这个阶段是培养大学生学习后续专业课程时从具体形象思维向抽象逻辑思维转变的关键时期，高等数学教师肩负着培养学生的数学思维能力及运用数学方法解决实际问题能力的重任。教学实践表明，恰当运用和实施逆向思维教学方法，引导学生学会用逆向思维方式解决数学难题，拓展学生的视野并打开解题思路，能激发学生学习的热情，进而提高他们分析及解决实际问题的能力。

二、 运用举例

（一） 倒推法

学生在学习高等数学中会遇到许多与微分中值定理的应用相关的证明题，应用中值定理可以研究函数或导数的性态，可以证明恒等式或不等式，利用微分中值定理证明问题时，当觉得从正向思维解决比较复杂或困难时，应当变换思路，比如运用倒推法可能找到问题的关键和突破口，进而比较容易地解决问题。通常可以从结论出发，根据运算的互逆性质，由后往前一步一步进行倒推，下面举例仅作思路分析。

例1 设f（x）在a，b上连续，在（a，b）内二阶可导，连接A（a，f（a））和B（b，f（b））的线段与曲线y=f（x）相交于C（c，f（c））（a

分析：从所要证明的结论出发来思考，结论是证明在（a，b）内至少存在一点ξ使f″（ξ）=0，应当考虑对一阶导函数用罗尔定理，由于A（a，f（a））、B（b，f（b））、C（c，f（c））三点共线，有f（c）-f（a）c-a=f（b）-f（c）b-c=f（b）-f（a）b-a=KAB（KAB为AB的斜率），又因为f（x）在a，c及c，b上均满足拉格朗日定理条件，则：

f′（ξ1）=f（c）-f（a）c-a（a<ξ1

f′（ξ2）=f（b）-f（c）b-c（c<ξ2

故对f′（ξ）在ξ1，ξ2上应用罗尔定理：f″（ξ）=0，ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b）。

例2 证明：当0

分析：从结论出发将其形式变为：2π

通常证明不等式可考虑利用函数的单调性作F（x）=sinxx，x∈（0，π2），

则F′（x）=xcosx-sinxx2=（x-tanx）cosxx2<0，

所以函数F（x）在（0，π2）上单调递减，于是limx→π2sinxx

即2π

本题证明采用了构造辅助函数的方法，类似于证明几何问题中添加辅助线，构造辅助函数的方法是高等数学证明中经常采取的技巧，它起着化复杂为容易、化未知为已知的桥梁沟通作用，通常利用要证明问题的结论形式来进行辅助函数的构造。

（二） 反证法

运用反证法证明问题时，首先应当假设在原命题的条件下，结论不成立，即一定要用到“反设”，然后推导出与题设条件或已知结论明显的矛盾结果，从而说明假设不成立，原命题方可得证。所要注意的是在用反证法证明问题时，若所要证明的命题结论只有一种情况，则只要将这种情况驳倒，这种反证法又可称为“归谬法”；若命题结论有多种情况，那么则须将所有的反面情况全部驳倒，才能推断出原结论成立，这种反证证法又称为“穷举法”。下面例子有两个结论，分别用直接证法和反证法。

例3 正项级数比较审敛法：设有正项级数∑∞n=1un，

（1）若存在收敛的正项级数∑∞n=1vn，且自某项开始后有un≤vn，则级数∑∞n=1un也收敛；

（2）若存在发散的正项级数∑∞n=1vn，且自某项开始后有un≥vn，则级数∑∞n=1un也发散。

先证结论（1）：设级数∑∞n=1vn=σ，其部分和为σn，由于前有限项不改变级数的敛散性，故不妨设自第一项开始就有un≤vn，则级数∑∞n=1un的部分和

Sn=u1+u2+…+un≤v1+v2+…+vn-1=σn（n=1，2，…），

由于级数∑∞n=1vn收敛，由基本定理

再证结论（2）：（反证法）设存在发散的正项级数∑∞n=1vn，且自某项开始后有un≥vn，但级数∑∞n=1un收敛，由（1）知正项级数∑∞n=1vn收敛，与已知正项级数∑∞n=1vn发散矛盾，故假设不成立，即级数∑∞n=1un也发散。另外，从数学命题来看，原命题与逆否命题同真同假，本题结论1与结论2互为逆否命题。这个思路同样可用于思考学习幂级数过程中阿贝尔定理证明的第二部分。

三、 结束语

当遇到问题使用正向思维产生困惑与障碍时，可以变换思路运用逆向思维来解决，突破顺向思维中的定势，养成多种思维的灵活性，有利于培养学生的创新性思维能力。

参考文献：

[1]王斌.数学证明中的逆向思维教学法[N].重庆交通学院学报，2005（2）1：158-160.

[2]徐秀娟.反证法在高等数学证明题中的应用[N].河北理工大学学报，2005（11）4：115-117.

[3]马建珍，刘俊先.反证法在高等数学中的应用[N].邢台学院学报，2007（6）2：90-91.

作者簡介：

熊淑艳，湖北省武汉市，湖北工业大学。