基于Hurst指数的空中交通流长相关性实证分析

2019-05-14王飞

中国民航大学学报 2019年2期

王飞

（中国民航大学空中交通管理学院，天津 300300）

近年来，国内外学者在研究过程中逐渐意识到空中交通系统是一个复杂的非线性动力系统，探索空中交通系统的非线性特性成为空中交通领域研究热点。在道路交通领域，非线性特性研究开展较早，主要从分形和混沌的角度进行研究并取得了一系列成果。空中交通流的研究起步晚，成果较少。一方面，从传统的交通流流量、速度、密度三要素入手，研究空中交通流的时空分布特征：张洪海等[1-2]利用仿真数据研究了单机场和多机场终端区空中交通流参数的时空特性及演变规律；许炎等[3]根据实测的雷达数据建立了空中交通流参数关系基本图，研究了终端区空中交通流时空特性；张洪海等[4]针对终端区交通流建立了广义跟驰模型，并研究了终端区交通流的复杂相变问题；王斯文[5]构建了进场交通流的元胞传输模型，并对首都机场进场交通流特征进行了仿真分析。另一方面，从交通流非线性特性入手，研究其分形和混沌特性：Li等[6]提出应用小数据量法和小波去噪理论计算最大Lyapunov指数，并对飞行冲突时间序列的混沌特性进行分析；Cong等[7]以扇区交通流量为对象建立时间序列，并对其混沌特性进行深入研究；郑旭芳[8]和王超等[9]从混沌和分形角度对交通流量时间序列的非线性特性进行研究，并分析时间尺度的影响；杨阳等[10]利用混沌特性研究了扇区流量的短期预测方法。

空中交通流传统的建模与预测方法均基于统计意义上的分布函数，鉴于空中交通流已被证实具有非线性特性，传统方法过于理想化，难以准确把握空中交通流的内在特征和演化规律，而混沌、分形等非线性理论方法非常适于空中交通流的研究。从现有研究可看出，对空中交通流非线性研究主要集中在混沌的识别与预测上，对于分形特征的研究较少。研究空中交通流时间序列的分形特征，对于揭示空中交通流自组织规律和演变规律具有重要的科学价值，对空中交通流的建模、预测和管控具有重要的现实意义。空中交通流存在分形的前提是必须具有长相关性，长相关性也称为长程相关性或长记忆性，是产生分形的根源。长相关性反映的是过去状态对当前和未来状态的影响程度，也是能够根据过去状态进行交通流预测的一个重要因素。

空中交通流预测以扇区交通流为对象，构建交通流时间序列，通过计算不同时间序列的Hurst指数，研究其长相关性，并计算长记忆周期，为其短时预测提供依据。

1 空中交通流时间序列

空中交通流是大量航空器沿航路航线相继飞行形成的航班流，是空中交通管理的主要对象。基于实测数据的空中交通流时间序列是研究其非线性特性的有效手段。时间序列与时间尺度息息相关，不同时间尺度下构建的时间序列的形态特征差异很大。如果时间尺度选择过小，将会导致很多数据为0，从而难以体现交通流量的波动变化；如果时间尺度选择过大，则更多体现交通流的宏观特征，难以捕捉到细节特征。以厦门进近管制区连续16天的流量数据为例，分别以 60 min、30 min、10 min和 5 min为统计时间尺度，构建了4个交通流时间序列，如图1所示。

从图1可看出，每种时间尺度的交通流时间序列都具有一定的周期性，这是由于空中交通流是以飞行计划为驱动的，而飞行计划以天为周期。

2 Hurst指数计算法

Hurst指数是由Hurst于1951年在水文学研究中提出的，能够反映出时间序列长相关性的强弱程度。

图1 不同时间尺度的空中交通流时间序列Fig.1 Air traffic flow time series with different time scales

Hurst指数值越大，说明交通流序列之间的相关性越强。Hurst指数可用重标极差法（R/S法）来确定，首先计算出重标极差序列及对应的时间增量序列，然后运用回归分析方法进行估计，具体计算步骤如下。

步骤1将长度为N的原始时间序列A={a1，a2，…，aN}按照长度n等分为m=[N/n]个连续的子序列Bi（i=1，2，…，m），则每个子序列的元素为 bi，k，即 Bi={bi，k}，k=1，2，…，n。

步骤2计算每个子序列的均值为

步骤3计算每个子序列的累积离差为

步骤4计算每个子序列的极差为

步骤5计算每个子序列的标准差为

步骤6计算每个子序列的重标极差为

步骤7计算在子序列长度为n条件下的m个重标极差序列的均值为

步骤8逐渐增加子序列的长度n，不断重复步骤1～步骤7，直至n=N/2，可得到子序列长度的向量和对应重标极差序列的均值向量。由于两者存在幂率规律[11]，可运用回归分析计算 ln n-ln（R/S）n曲线的斜率，即为该交通流时间序列的Hurst指数可表示为

其中：C为一个常数；H为Hurst指数。

该时间序列的分形维数为

具有分形的系统，D通常为大于1的非整数。

步骤9计算V统计量，即

绘制Vn-lnn图判定长记忆性：当时间序列为独立随机过程时，该图为一平坦的线；当时间序列具有长记忆性时，该图为一向上倾斜的曲线，从曲线的拐点坐标就可求出长记忆性的周期长度[11]。

3 空中交通流长相关性实证分析

根据研究对象的不同，Hurst指数分为全局Hurst指数和局部Hurst指数，两者的计算方法相同。全局Hurst指数表示整个时间序列长相关性，在空中交通流中表示交通流保持之前趋势的强弱性；局部Hurst指数也称时变Hurst指数，反映局部交通流的变化情况。

3.1 全局长相关性

以5 min时间尺度的空中交通流时间序列为例，绘制出lnn-ln（R/S）n曲线，如图2所示。通过拟合计算斜率得到全局Hurst指数H=0.655 8，拟合的相关系数为0.982 1，其分形维数为1.344 2。不同时间尺度的交通流的Hurst指数计算结果如表1所示。

图2 5 min时间尺度的Hurst指数拟合曲线Fig.2 Hurst exponential fitting curve（5 min time scale）

表1 不同尺度的时间序列的Hurst指数Tab.1 Hurst exponent of time series with different scales

从图2和表1可看出空中交通流时间序列具有如下特性：①所有时间序列的Hurst指数H≠0.5，说明全部序列都属于非随机序列，其运行过程蕴含丰富的非线性特性；②所有时间序列的Hurst指数H＞0.5，说明交通流具有长相关性，且为正相关，即过去的观测值对现在和未来都有影响，可应用过去的观测值预测未来交通流发展趋势；③不同尺度的时间序列的Hurst指数是不一样的，虽然差别不大，但尚未发现明显规律。