船舶静水中拖锚淌航距离数值模拟

富志禹， 于 洋， 祝贵兵

(大连海事大学 航海学院， 辽宁 大连 116026)

船舶在狭窄水域航行需要停船时，通常将首锚抛下，让锚在底床上拖动产生阻力而使船减速。中小型船舶靠码头无拖船协助时或遇紧急情况需要停船时，往往也利用拖锚来减速。[1-3]从抛锚到停船，船舶航行的距离即拖锚淌航距离，反映船舶拖锚的制动效果，也是确定落锚点的前提条件。

关于拖锚淌航距离的估算，岩井聪[4]采用动能定理，即抛锚时的船舶动能全部消耗在阻力做功上，提出拖锚淌航距离与船舶虚质量、船速、锚阻力、船体水阻力的关系式。由于拖锚制动中的船舶运动十分复杂，一般都假定船舶拖锚淌航时仍保持直线运动，并忽略船舶附加质量和水阻力，得到一个简化的估算公式[5]。

为探讨忽略船舶附加质量和船体阻力对拖锚淌航距离估算会产生多大影响，采用牛顿定律，将船舶附加质量和船体阻力均考虑进去，采用求解微分方程的方法来模拟拖锚淌航过程，给出船体阻力量值及其在总阻力中的占比，就船舶附加质量引起的附加惯性力大小做出分析，以及数值计算停船距离并与简化公式结果作对比研究，由于动抓力系数的选取，本文只分析底质为一般泥沙时的拖锚情况。

1 基于能量法的拖锚淌航距离估算

岩井聪[4]用动能定理给出的关系式为

(1)

式(1)中：S为船舶抛锚后到停船所前进的距离，m；FH为船舶从抛锚到停船时的平均船体阻力，N；FA为从抛锚到停船的锚平均动抓力，N；M为船舶质量，kg；Ma为船舶附加质量，kg；V0为船舶抛锚时的速度，m/s。

忽略船体阻力和船舶附加质量，式(1)可简化为

(2)

将式(2)中各物理量单位转变为航海常用单位，则有

(3)

式(3)中：M单位为t；V0单位为kn；FA单位为t。

从式(2)和式(3)可知：该方法计算简单，但估算过程中忽略船舶附加质量和船体阻力对淌航距离的影响。在航海实践中，船舶附加质量和船体阻力对船舶航行的影响是不可忽略的。[6-7]本文着重从力学角度进行研究，运用牛顿定律，分析船体阻力、附加惯性力和锚阻力随拖锚淌航距离变化的具体情况，体现船体阻力和附加惯性力在船舶拖锚淌航过程中的影响。

2 基于牛顿定律的拖锚淌航运动方程

假定船舶抛锚后仍沿着原来方向作直线运动，受到船体水阻力和拖锚阻力作用，见图1，忽略锚链在水中的阻力,则由牛顿第2定律得船舶拖锚淌航运动方程为

(4)

式(4)中：V是船舶瞬时速度；t为时间；FH和FA不是平均值，而是与时间和船速有关的变量。

图1 船舶拖锚淌航受力分析

淌航距离的微分式为

dS=Vdt

(5)

求解式(4)和式(5)时，有FH、FA和Ma3个物理量需要赋值，其中，附加质量Ma≈0.1M，余下的问题归结为计算船体水阻力FH和锚阻力FA。

3 船体水阻力计算

船体阻力一般分为黏性阻力和兴波阻力2部分。对拖锚淌航问题，船舶余速较小，Fr均低于0.1。因此,在估算船体阻力时，可忽略兴波阻力。采用文献[8]方法计算船体阻力。

(6)

式(6)中：ρw为水密度，kg/m3；AH为船体湿表面积，m2；CH为水阻力系数。

湿表面积AH计算式为

AH=1.7Ld+CbLB

(7)

式(7)中：L为船长，m；d为船舶吃水，m；B为船宽，m；Cb为方形系数。

水阻力系数计算式为

CH=0.046Re-0.134+b

(8)

式(8)中：b为系数；Re为雷诺数。

(9)

式(9)中：ν为水的运动黏性系数，其值与水温有关。取15 ℃水温的值：ν=1.14×10-4m2/s。系数b与船舶方形系数和宽度吃水比有关，见表1。中间值可插值求得。

表1 系数b的取值

4 锚阻力计算

从锚自备锚位置抛出开始计时，到船完全停止，整个过程按锚阻力的不同而划为锚入水前、锚入水至着底、锚着底至锚链达到计划出链长度和拖锚淌航至停船等4个阶段。

4.1 锚入水前下落运动分析

锚入水前对船舶的阻力为零。此阶段的分析主要是应用质点运动学公式计算锚自备锚位置到入水的速度和时间。于洋等[9]计算锚下落过程包含许多参数，考虑各种物理量的影响，但算式比较复杂。这里采用简化算法。NAKAYAMA等[10]通过实船抛锚试验，测得锚下落至水面的速度与自由落体速度的比值平均为0.6。由此得锚下落至水面的速度v1和平均加速度a的表达式为

(10)

式(10)中：h为备锚位置锚冠到水面高度；g为重力加速度。锚自备锚位置下落到水面所需时间为

(11)

忽略锚链重力，通过锚的力学方程可求出锚链张力T为

T=m(g-a)=0.64mg

(12)

式(12)中：m为锚质量，kg。

4.2 锚入水后至着底的运动分析

锚入水后、着底前，受到水平方向水阻力FA、铅垂方向作用力W和锚链张力T的作用(见图2)。其中铅垂方向作用力是锚在水中重力与水阻力R的合力为

W=0.87mg-R

(13)

下面分别计算锚水平移动的水阻力FA和垂直下落的水阻力R。

4.2.1锚在水中水平移动的阻力

锚所受水阻力的水平分力FA为

(14)

式(14)中：C1为系数；Ap为锚悬挂状态下水平移动的挡水面积。Ap的值并不方便获取，为此，根据量纲分析，设Ap与锚体积的2/3次方成正比，即

Ap=C2(m/ρs)2/3

(15)

式(15)中：ρs为铸钢密度，取7 800 kg/m3。将式(15)代入式(14)，并令C=C1C2，得

(16)

参照王伟等[11]的霍尔锚水阻力试验数据，取速度为0.3、0.5、0.8、1.1等4个档的阻力值，运用最小二乘法得到水阻力无因次系数：C=4.342。这样就避开锚挡水面积，只要给出锚的质量大小即可计算锚的水阻力。

4.2.2锚垂直下落时的水阻力

锚所受水阻力的垂直分力R为

(17)

式(17)中：C3为系数，由文献[12]可知C3=1.2；Ac为锚垂直下落的阻水面积，近似取为锚冠长与宽的乘积；v⊥为锚垂向下落速度，m/s。锚在水中的运动不是垂直的，其下落过程可分解成锚在水平方向相对于船的速度v//和锚在铅垂方向上下落的速度v⊥。因此，锚下落速度v可由v//与v⊥矢量合成，见图3。

图2 锚下落时的受力图3 锚下落时的速度

锚的水平阻力和垂直阻力求出后，则由图2得出

θ=arctan(FA/W)

(18)

根据牛顿定律建立锚的运动方程为

(19)

式(19)中：ma为锚的附加质量，近似取值为锚排开同体积水的质量。锚链长度变化量为

dLc=vdt

(20)

4.3 锚着底至计划出链长度段分析

锚着底后，伴随船舶淌航前行而在底床拖动，本文选取的底质为一般泥沙。锚的动抓力系数(动抓力与水中锚重的比值)见表2。[13]

表2 锚动抓力与链长水深比的关系

由于拖锚淌航过程中船舶余速一般属于低速阶段，锚着底时，水下链长通常较计划出链长度短。在此阶段，锚在底床上属于静止状态还是被拖动状态，这取决于出链速度和船舶速度，其情况相对较为复杂。为简化计算，假设锚着底瞬间的阻力为锚受水阻力的水平分力，可由式(16)计算得到；继续出链至计划出链长度则按线性插值估算锚拖底阻力。出链速度仍按锚着底时的速度计算。

4.4 出链长度达到预定长度的分析

此阶段的锚阻力FA按表2插值计算。若船舶淌航一段距离后抛下另一只锚，则该锚阻力重复前述过程计算。

5 船舶拖锚淌航运动数值求解

5.1 船舶淌航运动差分方程

将式(4)改写为

Vi+1=Vi+α·Δt

(21)

式(21)中：Δt为时间步长，自行设定；初速度为船舶抛锚时余速V0；α为船舶加速度。

α=-(FH+FA)/(M+Ma)

(22)

式(22)中：Ma≈0.1M；FH按式(6)～式(9)计算；锚阻力按第4.1节～第4.4节的步骤计算。式(5)改写为

Si+1=Si+Vi·Δt

(23)

其初始位置可设为零。

5.2 锚下落运动差分方程

锚自水面到着底这一过程由式(19)改写为

vi+1=vi+β·Δt

(24)

式(24)中：初速度由式(10)求出。

(25)

式(25)中:FA可由式(16)计算求出；W可由式(13)和式(17)计算求出；T由式(12)计算求出；附加质量ma近取为锚排开同体积水的质量。

ma=m·ρw/ρs

(26)

出链长度由式(20)改写为

Lcj+1=Lcj+vjΔt

(27)

按上述思路和式子编写1个小程序，可在电脑上运行计算。

6 算例

某船船长118 m，船宽19 m，满载吃水7.8 m，满载排水量11 709 t，方形系数0.65，配霍尔锚每只4.6 t，备锚时锚冠距水面2 m。船舶余速3 kn时抛下1只锚，出链长度为1节水面，水深12 m。求：

1)船舶淌航距离。

2)船舶淌航45 m时抛另1只锚(出链长度同上)的总淌航距离。

解：将有关物理量单位改为标准单位(t→kg；kn→m/s)，给计算程序赋值后运行，结果见图4～图6。

图4 船舶速度与淌航距离关系

由图4可知：船舶抛单锚淌航距离是228 m，抛

图5 船舶拖单锚淌航各外力沿程变化

图6 船舶拖双锚淌航各外力沿程变化

双锚淌航距离是144 m。为与式(2)估算结果相对比，将M=11 709×103kg，链长水深比Lc/D=27.5/12=2.292，λ=1.417，FA=λ×0.87 mg，m=4 600 kg，g=9.8 m/s2，V0=3×0.514 4 m/s代入式(2)得：

S2≈148 m

由此可看出，与本文结果相比，拖单锚淌航时，根据式(2)计算的结果，大约多出1节链长的距离；拖双锚淌航时，其结果大体相同,是因为拖单锚时船体阻力占总阻力的比例比较大，故式(2)忽略船体阻力后使计算结果偏大；而拖双锚时，船体阻力占总阻力比例变小，所以计算结果差别不大。

另外，本文与式(2)的计算起点不同。前者是从抛锚开始，后者是从拖锚开始。文献[1]和文献[2]在使用式(2)或式(3)计算淌航距离时，还需再加上出链长度的水平投影作为实际淌航距离。若考虑这个因素，两种算法的结果差别就更加明显。

拖单锚淌航时各外力随淌航距离的变化情况如图5所示。由图5可知:在初始阶段，船体阻力大约是单锚阻力的1/2；随着淌航前行，船体阻力大约呈直线下降。附加惯性力方向朝前，会助推船舶前行，但力的量值在整个运动过程中所占比重不大。另外，抛单锚时，附加惯性力最大仅为7 kN左右，而此时单锚阻力约为55.6 kN，附加惯性力约占单锚阻力的1/8。船舶淌航45 m后抛另1只锚的淌航情况如图6所示，可知抛出双锚后锚的阻力占绝对优势。

由图5和图6可知：从备锚位置抛锚至达到计划出链长度阶段，锚的水平阻力相比船体阻力来说较小，其对船舶淌航状态影响也很小。同样，这阶段的距离对整个拖锚淌航距离的影响也很小，说明所提出方法的计算起点并非是造成两种方法拖锚淌航距离差的主要原因。

7 结束语

运用牛顿定律建立船舶拖锚淌航运动微分方程，分别计算拖单锚和拖双锚的淌航距离，以及船舶速度、船体阻力、锚阻力和附加惯性阻力沿程变化情况，还给出霍尔锚垂直状态下水平移动时的水阻力计算方法。本文算例结果表明:船舶淌航初始阶段船体阻力约为单锚阻力的1/2，忽略该阻力会产生较大偏差。附加惯性力在整个淌航过程中所占比例均较小，最大值约为单锚阻力的1/8，附加惯性力的方向与船舶运动方向相同，会抵消一部分的船体阻力，两者的合力至少能达到锚阻力的3/8，所以会使船舶拖锚淌航距离变小。

实际上，船舶拖锚淌航时一般不会沿直线前行，而且影响船舶拖锚淌航的距离的因素有很多，今后还需在船舶受力分析基础上运用牛顿定律进行更深入的研究。