永磁同步电机滑模调速系统新型趋近律控制

马 畅，冷建伟

(天津理工大学 电气电子工程学院 天津市复杂控制系统实验室，天津 300384)

0 引言

近年来，随着永磁材料技术的不断发展，永磁同步电机在工业，高精度数控机床，军事等领域的应用越来越广泛[1]。永磁同步电机具有结构简单、功率密度高、效率高、损耗少、节能效果明显等优点[2]。传统的永磁同步电机多采用PI控制策略，但PI调节性能具有一定缺陷，比如系统在遇到外部干扰或者内部参数变化时，PI控制不能显示出很强的鲁棒性[3]。后来有些学者提出把滑模控制加入到控制系统中，虽然滑模控制具有较强的鲁棒性，但是在各种非线性控制系统中，会出现抖振问题[4]。抖振的产生不仅影响系统的精度，增加控制器的负担，还影响系统稳定。

为了提高滑模运动的动态品质，解决抖振问题。目前主要有趋近律法、观测器方法、模糊控制方法、神经网络方法、遗传算法、动态滑模方法等。其中，我国高为炳院士提出的趋近律法在抑制滑模抖振方面是国内外使用和研究的一个热点。高为炳[5]提出了趋近律技术的概念并分析了等速趋近律、指数趋近律和幂次趋近律等方法。等速趋近律的速度不变，结构简单；指数趋近律虽然提高了趋近系统滑模面的速度，但是这两种方法由于常值切换项ksgn(s)的存在，使得系统必定会存在抖振；幂次趋近律虽然可以消除抖振，但是在系统远离滑模面时趋近速度很低。文献[6]设计了一种新型趋近律和扰动观测器相结合的滑模控制策略，选取指数项、系统状态变量、线性增益等组成滑模趋近律，并结合积分型滑模面，有效的提高了系统的趋近速度并减小了抖动，但是趋近律的形式复杂，参数选取困难。文献[7]将终端吸引子的概念引入了指数趋近律，设计了一种新型趋近律，提高了趋近速度，有效减小了抖振。文献[8]在文献[7]的基础上，提出一种新型快速幂次趋近律，并与传统PI控制器作比较，实验显示该趋近律具有较好的性能。文献[9]首先提出双幂次趋近律的形式，并将其应用于机器人的路径跟踪控制，具有较强鲁棒性。廖英[10]等提出一种双幂次组合函数趋近律，通过理论分析和实验证明该趋近律无论系统在何种状态都具有比传统趋近律更优的控制性能，不足之处在于参数较多，不同参数下的滑模收敛特性还有待研究。张瑶[11]等在双幂次趋近律的基础上提出了一种多幂次趋近律，采用三个幂次项和一个线性项。该趋近律的变指数的幂次项具有较强的自适应能力，不足之处在于系统受到干扰时，稳定性有待研究。

为进一步提高永磁同步电机的动态跟踪性能，本文提出了一种新型趋近律，是在双幂次趋近律的基础上结合文献[7]，加入变指数项，进一步加快了双幂次趋近律在远离滑模面时的趋近速度，引入系统状态变量，抑制了滑模固有的抖振问题。最后通过理论分析和实验仿真验证该算法具有更好的性能。

1 新型趋近律

1.1 新型趋近律的设计

对于设计趋近律来说，要考虑两个方面，一个是快速性，一个是抑制抖振。由于文献[12]论证出双幂次趋近律具有有效消除抖振的特点，所以在双幂次趋近律的基础上加以改进。对于连续时间系统，所设计的新型趋近律如下所示：

(1)

(2)

其中，k1>0,k2>0,ε>0,0<α<1,β>1，x1为系统状态变量，s是系统滑模面，sgn(g)为符号函数。

1.2 存在性及可达性证明

(3)

1.3 新型趋近律的滑模特性分析

证明：分析新型趋近律的收敛时间，下面分2个阶段进行讨论。

阶段1：从初始状态s(0)到s(t1)=1阶段

在该阶段，由于参数0<α<1,β>1，所以对双幂次趋近律来说，在|s|>1时，对于收敛速度其主要作用的是第二项，忽略第一项的影响，将双幂次趋近律写成：

(4)

对上式两边进行积分可得：

(5)

由此可得从初始状态s(0)到s(t1)=1阶段的收敛时间为：

(6)

同理在该阶段，对于新型趋近律(1)来说，起作用的为第二项和第三项(这时γ=β)，忽略第一项，则趋近律(1)写为：

(7)

(8)

将式(8)两边积分可得:

(9)

(10)

阶段2：从s(t1)=1到s(t2)=0阶段

在该阶段，同样由于参数0<α<1,β>1，所以对双幂次趋近律来说，在|s|<1时，对于收敛速度其主要作用的是第一项，忽略第二项的影响，将双幂次趋近律写成:

(11)

对上式两边进行积分可得：

(12)

从初始状态s(t1)=1到s(t2)=0阶段的收敛时间为：

(13)

同理在该阶段，对于新型趋近律(1)来说，起作用的为第二项和第三项(这时γ=α)，忽略第一项，则趋近律(1)写为：

(14)

综上所述，新型趋近律下滑模趋近总时间T=Tα+Tβ小于双幂次趋近律趋近总时间t=t1+t2。定理1得证。

1.4 新型趋近律控制性能分析

以式(15)所示的系统为例，比较分析双幂次趋近律和新型趋近律的控制性能。

(15)

取系统滑模面为s=Cx，对其求导得:

(16)

将式(1)、式(15)带入式(16)可得:

(17)

在相同的参数设置下，将新型趋近律和双幂次趋近律进行仿真对比，结果如图1所示。

(a) 系统状态x1收敛过程 (b) 系统状态x2收敛过程

(c) 趋近律趋近过程所需时间 (d) 控制器输出u

(e) 双幂次趋近律滑模运动相轨迹 (f) 新型趋近律滑模运动相轨迹 图1 双幂次趋近律和新型趋近律性能比较

通过对比图1中双幂次趋近律和新型趋近律的控制性能可知，新型趋近律在趋近滑模面的速度方面快于双幂次趋近律,能更快地使系统到达稳定，且通过输出曲线u可以看出，新型趋近律具有减小抖阵的作用。因此本文提出的新型趋近律比双幂次趋近律拥有更优的控制性能。

2 永磁同步电机数学模型

建立永磁同步电机在d-q轴同步旋转坐标系下的数学模型，同时假设磁场在空间中正弦分布，并忽略磁滞损耗和涡流损耗。则电机的数学模型为：

(18)

(19)

转矩公式：

(20)

其中，ud、uq分别为定子电压在d轴和q轴分量；id、iq分别为电机定子电流在d轴和q轴分量；ψd、ψq分别为电机磁链在d轴和q轴的分量；Ld、Lq分别为电机电感在d轴和q轴的分量；R为定子电阻；ωm为转子角速度；ψf为永磁体磁链。

对于表贴式PMSM而言，采用id=0的转子磁场定向控制方法即可获得较好的控制效果:

(21)

运动方程为:

(22)

3 滑模控制器构造

结合式(18)和式(19)为：

(23)

定义

(24)

其中，ω为电机参考速度，ωm为实际速度。

根据式(23)和式(24):

(25)

(26)

定义滑模面为s=cx1+x2，对其求导并结合本文所提出的新型趋近律，则:

(27)

(28)

从而得到参考电流为：

(29)

4 仿真及实验分析

为了验证本文所提出的基于新型趋近律的滑模控制器有效性，搭建MATLAB/simulink仿真模型，构建如图2所示的仿真系统。仿真采用的PMSM电机参数为：磁极数pn=4，电感Ld=Lq=8.5mH，转子惯量J=0.0018kg·m2，阻尼系数B=0.0001。永磁磁链幅值ψf=0.175Wb，定子电阻R=2.875Ω。

图2 PMSM的系统控制图

仿真实验中对传统PI控制器和新型趋近律滑模控制器做了对比实验，仿真结果分别从电机的转速、转矩、定子电流三方面比较。给定电机转速为400r/min，负载转矩为0。从图3a中可以看出，新型滑模控制器比传统PI控制器转速响应快，到达指定转速的所用的时间少，且无超调现象。电机转速在0.2s时突然增加到600r/min，从图3a中可以看出，在转速突变的情况下，SMC控制速度响应也是快于PI作用，且率先达到新的稳定状态。图3b显示的是在转速突变的情况下电机转矩响应，从图中可以看出，PI控制策略下转矩到达稳定的时间慢于SMC控制策略，并且在转速变化时，PI控制下的转矩波动达到了初始转矩变化幅度5N·m，起伏波动比较大，而SMC控制下，转矩波动幅度只有初始幅度的一半3N·m，波动小，具有更好的抗扰动特性。同样从图3c、 图3d的定子电流对比也可看出SMC较快到达稳定，并且波动幅度小，展示出具有较好的控制性能。综上，在面对系统突变时，采用新型趋近律下的滑模控制器具有响应速度快，稳定后抑制抖动能力强，鲁棒性好的优点。

(a) 两种控制下的转速响应 (b) 两种控制下的转矩响应

(c) PI控制下的电流响应 (d) SMC控制下的电流响应 图3 系统起动和转速突变响应仿真

4.1 实验验证

本文以天煌教仪THEAZT-3C型电力电子与调速系统设计/创新平台为实验平台，以TMS320F2812PGFA控制芯片，搭建了实物平台，通过调速监控软件可以监测电机转速。实验主要测试PI控制和SMC控制下电机从起动到设定转速，然后改变电机转速，观察系统响应。

图4 实验平台及部分模块

4.2 实验分析

首先设定电机的转速为500r/min，初始负载为0，空载启动。从实验图中可以看到，当电机加速时，SMC控制速度响应快于PI控制，且SMC控制策略下，电机不存在超调现象。在电机稳定运行后，突加负载转矩1N·m，PI控制下转矩脉动比较大，到达平衡时间也比SMC控制下要长，说明滑模控制具有较好的抗干扰能力。

随后设定电机转速到1000r/min，然后进行减速实验。通过实验可以看出，SMC控制下电机可以迅速做出响应到达给定转速500r/min，到达稳定时间短。

(a) PI控制下电机起动转速响应

(b) SMC控制下电机起动转速响应

(c) PI控制下突加负载的转矩响应

(d) SMC控制下突加负载的转矩响应

(e) PI控制电机转速下降时的转速响应

(f) SMC控制电机转速下降时的转速响应 图5 实验系统测试

5 结论

本文提出了一种新型趋近律方案，是在双幂次趋近律的基础上加以改进，并从理论上分析了新型趋近律的可靠性、存在性和可达性。通过公式推导验证了新型趋近律比双幂次趋近律无论是靠近滑模面还是在远离滑模面时，都具有更快的收敛速度。在新型趋近律的基础上设计滑模控制器，与传统PI控制器进行比较，仿真和试验结果表明，新型趋近律滑模控制器在速度响应，稳态精度，抑制抖动方面;具有较好的性能表现，验证了本方法的可行性。