二次函数最值求解的利器

余旭红

问题一：二次函数图像的顶点纵坐标是二次函数的最大值还是最小值？

例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0）、B（3，0），求二次函数y=ax2+bx+c的最值（用含a的代数式表示）。

【解析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2-2ax-3a，配成顶点式得y=a（x-1）2-4a，那么根据a的正负性，确定二次函数y=ax2+bx+c的最值。

解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a。

∵y=a（x-1）2-4a，

∴当x=1时，二次函数有最值-4a。

当a>0时，二次函数有最小值-4a;当a<0时，二次函数有最大值-4a。

【点评】本题考查了二次函数最大值或最小值的求解，解题策略是先根据题目特征用交点式、一般式或顶点式求二次函数的解析式，在自变量的取值范围是任何实数的情况下：当二次项系数a>0时，二次函数图像的顶点纵坐标是二次函数的最小值;当二次项系数a<0时，二次函数图像的顶点纵坐标是二次函数的最大值。

问题二：二次函数图像开口向上，二次函数有没有最大值？

例2 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）。

A.1或-2 B.[-2]或[2] C.[2] D.1

【解析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性，得出抛物线开口向上，即a>0。然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a。

解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），

∴对称轴是直线x=[-2a2a]=-1，

∵当x≥2时，y随x的增大而增大，

∴a>0，

∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，

∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，

∴3a2+3a-6=0，

∴a=1或a=-2（不合题意舍去）。即a=1。

故选D。

【点评】本题考查了二次函数的增减性。先利用增减性判断抛物线的开口向上，再根据自变量-2≤x≤1，判断在抛物线的对称轴x=-1左侧（即当-2≤x≤-1时），由于y随x的增大而减小，故当x=-2时，y有最大值为3a2+3;在抛物线的对称轴x=-1右侧（即当-1≤x≤1时），由于y随x的增大而增大，故当x=1时，y有最大值为3a+3a2+3。比较两种情况的最大值，得出x=1时，y的最大值=a+2a+3a2+3=9，从而成功求解。

问题三：如果抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，如何求二次函數最大值或最小值？

例3 已知二次函数y=-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（）。

A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6

【解析】如图，分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况考虑：当h<2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论;当2≤h≤5时，此时函数的最大值为0，与题意不符;当h>5时，根据二次函数的性质，可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论。

解：当h<2时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）。

当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意。

当h>5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6。

综上所述：h的值为1或6。

故选：B。

【点评】本题考查了在抛物线的顶点横坐标不一定在自变量的取值范围内的情况下，如何求二次函数的最大值或最小值。利用二次函数求最大值或最小值问题时，一定要先求出自变量的取值范围，再看二次函数的开口方向。当开口向下，顶点位于自变量范围内时，顶点纵坐标为最大值;当开口向下，顶点不位于自变量范围内时，要求出端点坐标，通过比较端点纵坐标大小来确定最大值;当二次函数开口向上时，也有最大值，直接比较两个端点纵坐标，大的即为最大值。

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）