高中数学概念有效教学的思考

周义

[摘  要] 来自现实模型的抽象、已有概念的概括、客观事物属性的本质化、数学发展的构造等多种途径的数学概念是命题、推理、论证最根本的依据，教师应适当放缓步子、减小难度，在具体的概念教学中将知识与应用完美结合并促进学生对概念的真实把握.

[关键词] 概念教学;情境;操作;规律;辨析;应用

很多初高中学生踏入社会以后往往无法领略到中学数学的直接应用，很多学生跨出校门之后甚至在短短一两年时间之内就会将所学数学知识完全遗忘，不过数学学习过程中所习得的思维方法、研究方法、推理方法、着眼点以及培养起来的数学精神却能令其受益一生. 蕴含丰富数学知识与方法的概念教学往往能令学生在学习中获得一定的数学思想与研究方法以及数学精神的体会.

概念作为数学理解的基础，我们应该用最多的精力来组织概念教学. 但现实是我们教师在进行概念教学时，有时并未全身心投入其教学中，这是因为数学概念很少直接解决实际数学的问题，两者在一定程度上缺乏直接的关联性，比如很少有直接考数学概念的题目，即使有也比较简单，因此实际教学中教师常常会压缩概念教学的时间，而把更多的精力花在数学解题上. 在这一问题上，广大一线教师的如此做法或多或少地透露着某种无奈的心态，而寻找更为有效的数学概念教学的方法也成为大家一直琢磨的也最为紧迫的问题. “世上本无路，走的人多了自然也就成了路.”鲁迅先生的这句话给我们以激励，在探寻数学概念有效教学的路上，我们一直在摸索前行着.

以境育情，引入新课

以境育情能令学生对学习对象迅速产生兴趣并进入角色，获得情感共鸣的学生在学习对象的探索中也会更加投入.

例如，教材在函数这一概念的引入过程中就设计了炮弹发射、臭氧减少、恩格尔系数这三个涉及军事、环境与经济的情境，将解析式、图像、表格这三种函数的不同表示方法进行了对应展现，最后结合“对应关系”与三种表示方法将函数的定义导出.

学生很难发现生活中处处隐含的数学，因此，教师应适当选取生活中的数学现象并将其设计成问题情境呈现到学生面前，使学生在问题情境的探索中建立下概念学习的基础. 不过，教师在情境的导入中也应把握贴合学生的生活实际、具备一定思考价值的原则，将一些能够体现时代精神并能令学生感悟知识的情境设计进课堂教学的活动中.

实验操作，体验概念形成

数学概念、思想方法都是一定背景下自然形成的产物，但不排除一些概念会令人觉得不够自然，面对这些概念时，只要能够将其背景、形成过程、应用以及与其他概念之间的联系弄明白，学生也很快能够在其发展与形成过程中感受到它的水到渠成与合情合理. 因此，教师应着眼于学生的认知规律进行恰当的数学实验的设计，引导学生在动手操作、观察比较中对概念的形成过程加以体验并获得清晰的认知.

例如：“线面垂直”概念与判定定理（如图1）.

梯状分割，拾级而上

布鲁纳早就强调过学生是信息加工者的这一观点，因此，教师可以将研究内容进行分割，使学生在阶梯状知识的探索中拾级而上并进行信息的加工，引导学生在知识的探索中逐步攀登的过程往往能令学生不断感受到成功与喜悦.

事实上，数学概念的抽象性往往会令学生在理解过程中遭遇挫折，因此，有意义的台阶铺设往往能令学生在已有知识的基础上扎实前行，渐进性的认知与理解也能令学生对概念形成更加清醒的认知.

例如，函数的单调性.

1. 创设情境

问题1：如图2，是某地区某24小时的气温变化示意图，你能根据当天时间的变化说说该日的温度变化趋势吗？（在某些时间段内气温会有上升与下降）

问题2：你能根据此例举出生活中有关数据变化的其他例子吗？（股票价格、水位高低等）

伴随事例的列举，教师可以告诉学生这些例子在函数的范畴中，其实就是函数值因为自变量的变化而产生了变化.

2. 借助图像，直观感受

引导学生根据问题进行增函数与减函数的分类描述并使学生明确函数单调性会有定义域内某区间条件的限制，相对来说这是函数的局部性质.

问题4：大家能根据自己的理解说说什么是增函数和减函数吗？

学生在作图过程中很快能对函数的单调性建立感性的认知并在此基础上展开函数值变化规律的探究，最终获得理性的认识.

3. 探究规律，理性认识

这个函数的图像对于学生来说是不熟悉的，这一设计能使学生意识到研究数量关系大小可以从函数解析式的角度进行，不仅如此，还能使学生明白函数单调性严格表述的意义.

问题6：你能根据解析式对函数f（x）=x2在区间（0，+∞）上是增函数进行量化描述吗？

这一问题设计能令学生充分开展思维活动并暴露出学生思考、描述中的问题，学生在运用符号语言描述函数单调性的过程中也令自己的认知从感性层面上升到了理性层面.

4. 思维抽象，形成概念

学生在问题4与问题5的思考中很快能够对单调性形成直观到文字语言的理解，经过教师的进一步引导很快能够运用符号语言来进行描述（如图3）.

总体说来，问题1至问题5的铺设能很好地帮助学生对单调性形成感性到理性的认知.

问题7：对于一般函数f（x），你能描述出增函数的定义吗？请注意数学符号语言的准确性.

最后在小组讨论总结和教师的完善中得出增函数严格的定义并进行类比获得减函数的定义.

问题6和问题7将概念教学的过程适当地放缓并让学生在小组合作讨论的过程中充分体验了函数单调性这一概念的形成过程.

引导学生在具体事例的探索中进行事例属性的分析与概括并最终归纳得出共同的本质属性是概念教学中最为重要的环节，这对于学生的概念学习与概括能力的养成都是至关重要的.

概念辨析，加深认知

数学概念往往表现出语言的高度概括性，这对于学生来说，往往会造成其理解上的偏差，因此，教师在具体的概念教学中应适当穿插辨析过程，这对于学生对概念的理解来说是大有裨益的.

（1）引导学生准确定位关键字词并在辨析中体验数学语言的准确与精炼. 例如，函数概念中的“任意”和“唯一”分别代表的精准含义，概率概念中的“稳定于”和“趋向于”分别所表达的意义等都是需要学生仔细推敲的.

（2）利用对比与反例引导学生对概念进行辨析并因此培养学生严谨的思维能力. 例如，频率与概率、对数与指数、相互独立事件与互斥事件等諸多对立的概念也能令学生在辨析中对多学概念形成准确的区分和认知.

再如，教师在集合概念的教学中可以“高三（5）班的学生”为例引导学生加深理解，这一集合的元素——“高三（5）班学生”的确定使其成了集合，其中的任何两位学生都代表了集合中的两个不同元素，不仅如此，学生的顺序对这一集合并不会产生影响. 学生在自己身边的事例中很快能够对元素的确定性、互异性和无序性产生清晰的认知. 教师还可以提出“高三（5）班所有高个子学生”是否能够组成集合这一问题来引导学生进行概念的对比和辨析，令学生明白“高个子”的不确定性是不能组成集合的原因. 学生在两个事例的对比与辨析中很快形成了概念的清晰认知.

实际应用，外延拓展

很多数学公式、性质都是根据某些数学核心概念衍生出来的，面对复杂的知识应用与各种考查，教师应引导学生对核心概念进行回顾并在完整的认知体系中对概念的本质形成更加精准的理解.

例如，任意角的三角函数（如图4）.

概念往往来自现实模型的抽象、已有概念的概括、客观事物属性的本质化、数学发展的构造等多种途径，数学命题、推理以及论证都离不开数学概念这一最基本且核心的内容，因此，概念的理解与应用是概念教学中最为重要的两个方面. 教师在具体概念的教学中应适当放缓步子、减小难度，引导学生在概念的形成与发展中扎实前行，并对概念的应用与外延中展开思考与探索，将知识与应用完美结合并促进学生对概念的真实把握.