创设“数学思维历程”的课堂教学实践及反思

李靖敏

[摘  要] 笔者对一道经典高考题进行改编、再创造，生成系列问题，在对问题的思辨过程中引导学生深入思考，进而激发学生的思维活动，创设“数学思维历程”. 学生在亲历发现问题、解决问题的数学思维历程中，学会数学的思考问题的方法，掌握选择解决问题的策略，从而形成数学核心素养.

[关键词] 四边形;思维活动;思维历程

学习数学不仅要掌握知识和技能，更为重要的是掌握其思想和方法. 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学的灵魂和精髓. 创设“数学思维历程”的课堂教学，有利于学生掌握数学思想和方法，学会数学的思考，形成数学核心素养. 这也是高中数学教学的核心任务和长远目标，对学生数学能力的发展起到关键作用.

笔者在高三复习课教学实践中有意进行了创设“数学思维历程”的课堂教学的尝试，将要复习的知识通过问题呈现出来，通过问题思辨引导学生深入思考，激发学生的思维活动，促进师生的思维碰撞. 在学生亲历发现问题、解决问题的过程中，在生与生、师与生思维的碰撞中，体验高三数学复习的乐趣，体验美妙的数学思维历程，学会数学的思考问题，提升解决问题的逻辑思维能力.

改编经典高考题——创设 “数学思维历程”

（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;

（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

这道题既考查了解析几何的基本知识与方法，也考查了学生的数学思维能力，还考查了数形结合的数学思想方法，是每年高三解析几何复习必选的题目，面对这样经典的解析几何题，采用什么方式进行教学才能改变学生的学习方式，提升学生分析解决几何问题的能力呢？

在高三一轮复习时，笔者进行了创设“数学思维历程”课堂教学的尝试.

首先把要解决的问题“四边形OABC是否可能为菱形”看成果树上要摘的果实，寻根溯源挖掘埋藏在树根底部泥土之中的知识与方法，在此基础上逻辑生成、生长：四边形OABC是否可为梯形、平行四边形、矩形、正方形？在学生亲历这一思维过程中，学会思考解析几何问题的方法;掌握选择解决解析几何问题的策略;能精准表达解决解析几何问题的过程;从而提升学生解决解析几何问题的能力，促进学生思维发展. 为此笔者用两节连排课，将按逻辑的生成、生长的问题让学生充分探讨，相互启发，去展示和碰撞各自不同的想法. 鉴于此，设计如下三个教学环节

教学实践——学生亲历“数学思维过程”

（一）动手操作，验证猜想

问题的抛出犹如一石激起千层浪，学生积极动手操作，很快得出有无数个梯形.

师：为什么有无数个梯形？

生：能找到OA或AB的无数条平行线（图2、图3）

师：所作的平行线中都能满足其是梯形吗？

生：如图3，当OA=BC时，不是梯形，而是平行四邊形.

师：一定有OA=BC吗？

师：为什么？

此时大部分学生困惑，说不出理由，经过思考，有学生想到：当BC与椭圆相切时，BC趋近于零，当BC过O点时，BC最大为2OA，所以一定能找到OA=BC.

师：太棒了，比较两条线段的大小，可将其中一条线段的范围求出来，0

生：有BCOA，则必有OA=BC.

师：这种连续变化的思想非常重要，是“零点存在定理”在几何图形中的应用，它在验证几何结论时被经常使用.

判断一个四边形是平行四边形除了从边上思考，还可以从哪些角度思考？

生：对角线互相平分、对角相等.

师：哪个更简单？如何验证？

学生一致认为：用对角线互相平分更优，学生画图，将AC绕BO的中点D旋转，观察AD与DC的大小，用连续变化的思想，验证有平行四边形，如图4. （学法指导初见成效）

师：以上从数、形两方面在平移、旋转的连续变化中验证了问题：OABC可以是平行四边形，有无数个. 接下来该研究OABC是什么四边形？

生：菱形、矩形、正方形.

师：讨论其各有多少个？

经讨论，大部分学生认为：菱形有4个，且当B点在椭圆的顶点处时. 个别学生不知道矩形有没有，但根据椭圆的对称性：若有，则一定有四个.

师：角AOC在连续变化过程中有直角的可能吗？或两条对角线有相等的可能吗？（学生进行深入思考）

生1：先从特殊位置找钝角，当OA垂直x轴，BC过焦点F垂直x轴时，BC=AO=1，角AOC是钝角. 如图5，当B点在椭圆右顶点时，角AOC是锐角. 如图6，用连续变化的观点知一定有角AOC是直角，根据椭圆的对称性，矩形有四个. 当B在右顶点时，角AOC为什么是锐角？很多学生提出质疑.

生1：如图6，OD=1，AD小于短半轴的长1，所以角AOD小于45°，？摇所以角AOC小于90°. （话音刚落教室响起热烈的掌声）

师：角AOC是钝角，大部分同学找的是B在椭圆上（或下）顶点时的菱形，难点是找锐角，生1不仅找到了，而且还说明了理由，非常棒！

师：这样验证了矩形有4个，有正方形吗？

生一致认为没有，理由是只有B点在椭圆的顶点处时，四边形OABC才是菱形，此时OABC不是矩形，所以四边形OABC不可能为正方形.

师追问：B不在顶点时，四边形OABC一定不是菱形吗？

生：看着不像.

师：伟大的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，几何结论不能仅仅看图观察，用连续变化思想验证，还必须从“数”上严格证明. 将学生的思维自然而然引入第二环节.

（二）优中选优，证明猜想

师：平行四边形、菱形、矩形，先证明哪个结论好？生一致认为：平行四边形.

师：刚才我们从边、对角线上验证了有无数个平行四边形，采用哪种证明更简单呢？

（学生困惑、有争议）

师指导：若用OA=BC，OA∥BC. 1. 设点：让学生将几何条件OA=BC用坐标表示出来，有六个参数，OA平行BC用坐标表示出来，用向量或斜率（存在时）也有六个参数.

2. 设线：若斜率存在，OA：y=kx，BC：y=kx+m，需与椭圆方程联立两次，计算量太大，怎么办？（学生深入思考）

设线：AC方程：y=kx+m与椭圆方程联立一次即可.

师：能具体说明一下你的想法吗？

师：生2分析得很到位，对k∈R能否有m存在，同时满足上面的等式和不等式，掌声送给他，但有点小小的漏洞，缺少斜率不存在情况（有学生抢着说到）.

师：对，这是你们解题中经常忽略的问题，同时m≠0，要特别注意直线方程中参数k，m的限制条件，在做解析几何题时，不要盲目算，一定要恰当合理选择几何条件，预估代数运算的复杂程度，优中选优.

师：证明B不在橢圆顶点，菱形存在时，选择哪个几何条件更好？

生：对角线垂直，

师：如何代数化？（有的说用斜率，有的说用向量，争议较大）

解出矩形恰有四个时，学生都非常兴奋，颇有成就感.

（三）引申拓展，提升能力

师：以上证明了平行四边形有无数个，那么这无数个平行四边形的面积有最值吗？

问题再一次激起学生的探究欲望，引发学生深入思考.

真神奇呀，面积是定值，学生由衷发着感叹，沉浸在研究数学问题的情景中……

教后反思带给学生美妙的“数学思维的历程”

连着两节复习课后，学生没有一点疲惫感，还在兴致勃勃讨论拓展问题. 笔者虽然连续“战斗”高三很多年，但依然为学生这么多好的想法、解法兴奋不已. 这堂课令笔者真正体验到教学相长;学生是待开发的沃土，蕴藏着无穷的智慧，老师的挖掘与引导则能起到松土激活的效果;体验到学生的思维和智慧是可教的，老师是学生思维发展与智慧提升的引导者和推动者.

（一）创设“数学思维历程”的课堂，问题是课堂的核心

本课，改变了以往复习课的呈现方式，将经典的高考题改编为“半开放”性问题，在“半开放”性问题的引领下展开教学，问题是课堂的核心.

本课的一系列问题都是由原问题四边形OABC是否为菱形生成生长的，符合学生的认知，符合解析几何的认识规律，同时抓住学生想学好解析几何但又惧怕计算的心理，从最简单问题梯形入手，引发学生研究问题的欲望，而后问题步步深入，先画梯形、再平移、后旋转的连续变化中寻找平行四边形、菱形、矩形、正方形，发现几何猜想、辨别真伪，引发深层次思考，给学生更多的思考空间，使学生“想知”，也“能知”，使更多的学生积极参与到问题的思考之中，从而发挥出最大的主观能动性，收获最好的数学思维历程学习体验.

本课的一系列问题，意在传递解析几何的基本思想在具体问题中如何应用，即寻找几何条件，写出代数形式，算出代数结果，得到几何结论. 而第一步几何条件的寻找和选择最为关键，在问题的引领下，让学生通过分析对比预见不同几何条件下代数运算的复杂程度，选择最佳解题策略，优化代数化过程，优中选优. 学生通过“自悟”“他悟”，最终“顿悟”.

（二）创设“数学思维历程”的课堂，思维活动是课堂主线

本课思维活动主线从以下三个方面逻辑生成，层层递进，步步深入，引导学生展开深度学习. 根据学生的理解情况和进展状况恰当点评，不断鼓励，适时纠偏导正，查漏补缺，适时地提出能促进学生进一步深入思考的话题，例如，是否还有别的解法，哪种方法更简单？是否可以推广引申，强化（或者弱化）条件会有什么结果？这些问题使学生的认识在层层递进的思考中得到深化，解决解析几何的逻辑思维能力在交流讨论中得以提升.

（三）创设“数学思维历程”的课程，发展学生数学核心素养是最终目的

创设“数学思维历程”的课堂，不仅教给学生知识和方法，发展学生思维与能力，更重要的是培养学生的品格与精神，学会数学的思考，形成数学核心素养. 其一，条理性，一步一步，大化小，多化少，难化简，动化定，逐个击破，层层分析，找到真相. 其二，先分析思考，后落笔运算，最简捷地书写. 凡事谋定而后动，思在前，行相随，无往而不利;让学生在学习中既收获数学知识、思想、方法，又感受到从特殊到一般、从一般又到特殊、运动变化、等与不等、定与动等哲学思想，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养.

本课需要改进的问题

1. “半开放性”问题是在老师引领下展开的，对优秀的学生思维有一定的束缚，笔者曾在一个普通实验班尝试过“全开放”的问题，问题的呈现为：

2. “半开放性”问题，学生思考讨论时间较多，课堂节奏把控非常重要，若在第一环节再紧凑一些，将拓展的问题完成，发现四边形OABC不是菱形的本质，对学生思维能力的提升促进作用更大.

作为数学教师，笔者常常在思考：当学生有一天不再学数学了，笔者的数学课堂能够给学生留下什么？应该是当学生遇到具体问题时，那种思考问题的方式和解决问题的方法与策略. 这将使学生终身受益，是一种不可量化的“长效”，一种难以言说的丰厚的回报.

今天的课堂教学表面上看是在教学生如何思考并解决数学问题，其实是为学生明天运用逻辑思维的方法处理工作中的各种问题. 张鹤老师曾说“今天的很多的成年人在回忆自己的中学时代数学学习往往成了痛苦的经历，希望未来的成年人会感激他（她）的数学老师曾经带给他们过美妙的数学思维的历程”. 每个老师都应努力使课堂教学给学生留下美妙的思维历程，这节课应该给学生留下了美妙的思维历程.