立足本质理解算理掌握算法

张微

【摘要】分数除法是小学阶段数与运算内容中的重点和难点，是小学阶段最后一次学习有关除法的内容.它与分数乘法的意义、计算及其应用都有着密切的联系，同时，还和整数除法的意义有关.

【关键词】理解管理;掌握算法

一、现象分析

备课之前我查阅了一些资料，发现有些教师根据课堂教学进行了教学后测，后测结果显示，86%的学生学习了分数除法以后，能依据分数除法的计算方法进行计算，并能够得到正确的结果，但当教师问及“为什么除以一个数（0除外）可以乘这个数的倒数”时，有近40%的学生不知如何回答，对算理解释不清，只有20%的学生能结合课上的思考过程进行合理的解释，这三个数据产生的原因引发了我的关注和思考.

（一）学生方面

对程序性的知识只关注结果.

从上面的数据可以看出，对分数除法的计算方法并不是教学的难点，而真正的难点在于计算方法背后的道理.另外，学生缺少对问题本质的探究.

（二）教师方面

对数学知识的本质关注不够，过程性目标和可持续发展目标缺失，导致教师在教学过程中关注更多的是算法而非算理，在分数除法计算教学时，认为只要记住“除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数”这个结论，能熟练运算就算教学目标的达成.

二、我的思考

那么如何让学生更好地理解算理，掌握算法呢？

华罗庚说过：“善于‘退，足够‘退，‘退到最原始的而不失去重要的地方，是学好数学的诀窍.”除法是计算分数除法的原始方法，也是学习分数除法的基础.

基于以上的认识：我们从除法运作本质的角度，来理解“颠倒相乘”算法方面做了一些思考.

（一）什么是运作？

1.词典中的解释

运作：运行和操作.运作是一种操作层面的理解.

2.我们理解计算中的“运作”

运作：指的是借助图示和模型将抽象的算理形象化，再将具体的运算分解成若干步骤，从而使计算过程形成一种程序化的步骤，最终得到计算结果.也就是通过运作的过程不仅能知道计算方法，还能理解为什么这么算的道理？

如，一個分数除以一个整数，借助直观图理解将这个分数平均分几份，再取1份，最后再转化为求这个分数的几分之一是多少.

通过这样的运作过程，借助图形语言，将抽象的算理形象化，将复杂的数学思考变得简单易懂.

（二）运作在除法中如何体现？

1.运作在分数除法中的体现.

分数除法包括分数除以整数和一个数除以分数.

运作在分数除以整数中，主要体现在：借助直观图，先分，再取，再转化，即将分数平均分成几份，再求一份，最后转化成求这个分数的几分之一，从而使抽象的算理形象化.

运作在一个数除以分数中，主要体现在借助线段图直观地展示推算的过程，将除数的运作意义回归到以“份”为单位，即先求“一份”是多少，再求这样的几份是多少.在将情境中的逻辑关系程序化的过程中，使计算的操作步骤程序化，从而理解分数除法的计算需要“颠倒相乘”求结果.综上所述，只要是分数除法，都可以借助几何直观，经历先分再取的运作过程.由此我们联想到分数除法中的运作是否可以推广到整数，小数除法中呢？

2.分数除法与整数除法，小数除法的联系.

整数，小数除法的算理：

整数除法：8÷2=4，就是8个一平均分2份，结果是4个一.

小数除法：0.8÷2=0.4，就是8个0.1平均分2份，结果是4个0.1.

分数除法：45÷2=25，就是把4个15平均分2份，结果是2个15.

综观整数除法，小数除法，整数除法平均分的是整数计数单位（“个”“十”“百”“千”……），小数除法平均分的是更小的小数计数单位（0.1，0.01，0.001，…），二者实质上都是在把计算单位的个数进行平均分，凸显了位值制和十进制.而分数除法平均分的是分数单位，当分数单位的个数无法直接平均分时，还需要把分数单位再细分.

由此可见：整数除法，小数除法，分数除法都是把计数单位的个数进行平均分，它们的本质都可以化归为运作——先分，再取.也就是先除再乘.

三、除法运作在这两节课是如何落实的？

（一）借助图形去支撑算法的理解，使抽象的算理形象化

分数除以整数，如45÷2=4÷25，借助平均分的意义把4个15平均分成2份，每份是（4÷2）个15.也可以借助分数的意义先把45平均分成2份，再取其中的1份，也就是求45的12.

两种算法虽然形式不同，但都是用图形语言揭示分数除法计算过程的几何意义，沟通除法意义和分数乘法意义之间的联系，接着引出分子不能被除数整除的情况.让学生经历由特殊到一般的探索过程，进而理解把一个数平均分成几份，求其中的1份，就是求这个数的几分之一是多少.

（二）借助线段图，使抽象的运算步骤化

一个数除以分数：小明23小时走了2 km，1小时行了多少千米？在理解2÷23算理时，借助线段图的直观方式，明确23小时是把1小时平均分成3份，表示这样的2份.在学生明确对应关系的基础上，借助“份”这个基本概念，从运作的角度对一个数除以分数的算法进行直接合理的解释：先求一份，就是把2千米平均分成2份，求2千米的12，再取这样的3份（再×3），也就是求2的32，由于有了直观图的运作，降低了学生对2×12×3中每一步的理解难度，从而使抽象的运算步骤化.

综上所述，在研究的过程中，我们认为，对程序性的知识，通过借助直观和线段图，经历先分再取的运作过程，有助于学生抓住数学问题的本质，不对抽象的算理望而生畏.