让数学活动在三疑三探中升华

【摘要】数学活动属于“综合与实践”课程内容.实施“设疑引探—解疑合探—质疑再探”的模式组织数学活动，充分体现了数学活动自主参与性、综合性、实践性、开放性，通过深入挖掘教材，以问题为课堂活动导向，调动学生自主思考与合作交流，注重活动经验积累和思想方法渗透，学生数学抽象和函数建模等训练可以得到不断升华.

【关键词】数学活动;三疑三探;升华

数学活动是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，它属于“综合与实践”课程内容，分散安排在每一单元后面，初中阶段共安排了71个数学活动.在学习活动中，学生要广泛联系生活实际、综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等本学科和其他学科的知识和方法解决问题.学生必须积极动脑、动手、动口、认真观察、实验、操作、主动合作、探究，参与活动全过程.数学活动具有较强的自主性、综合性、实践性，但课堂组织难度大，因此并没有得到教师和学生的足够重视.

如何有效组织数学活动？“设疑引探—解疑合探—质疑再探”的课堂组织形式，以问题为课堂活动导向，以探究为活动主线，可让数学活动更加精彩，让学生数学素养得到升华.

下面以二次函数单元的数学活动1为例，谈谈自己的教学实践与思考.

（1）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大.

91×99，92×98，…，98×92，99×91.

（2）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大.

901×999，902×998，…，998×902，999×901.

对（1）（2），你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？

（人教版义务教育教科书九年级上册第54页）

一、设疑引探

首先，探究问题（1）.

思路一：计算验证法

方法一（直接计算）

91×99=9 009，

92×98=9 016，

93×97=9 021，

……

方法二（应用多项式乘法或头同尾合十的口诀算法）

91×99=（90+1）×（90+9）=8 100+90×（1+9）+1×9=9 000+9，

92×98=（90+2）×（90+9）=8 100+90×（2+8）+2×8=9 000+16，

93×97=（90+3）×（90+7）=8 100+90×（3+7）+3×7=9 000+21，

……

方法三（应用平方差公式）

91×99=（95-4）×（95+4）=952-42=9 025-16，

92×98=（95-3）×（95+3）=952-32=9 025-9，

93×97=（95-2）×（95+2）=952-22=9 025-4，

……

小结、提问：由对称性可知，只需直接（或巧用公式）计算前五个积，逐个比较，马上可以验证问题（1）中哪个乘积最大.假如三位数乘三位数，且共有100组，你能快速猜想哪一组的乘积最大并加以说明吗？

设计意图：在反思中总结方法，在提问中拓展过渡.

思路二：函數建模法

认真观察91×99，92×98，…，98×92，99×91这一列数，积依次在变.是两个乘数中哪一部分的变化引起积在变化？

设计意图：依据函数本质设置问题.

通过数学抽象和数学建模，问题（1）的任何一个乘积都可以用如下二次函数模型表示：y=（90+x）（90+10-x），x=1，2，3，4，…，8，9.

此为开口向下抛物线，交x轴于两点（-90，0）和（100，0），其顶点横坐标x=-90+1002=5，所以当x=5时，乘数（90+x）与（90+10-x）都是95，函数y有最大值，最大值是.

学生设什么为自变量x，可能还有不同的设法，教师要及时肯定评价;学生如没有其他不同解法，教师可适当简介下列第一种解法.设什么为自变量x、设什么为函数y，是本思路的第一个难点;建立函数模型后，如何快速地求出函数最大值，是第二个难点.教师做好示范后，为化解难度，以填空的形式，一步一步引领学生自主完成如下问题的探究：

若设第一个乘数为x，则第二个乘数表示为，设这两个乘数的积为y，则函数关系式为，自变量x的取值范围为，顶点坐标为.所以当第一个乘数为，第二个乘数为时，函数y有最大值，最大值是.

若设第一个乘数为95-x，则第二个乘数表示为，设这两个乘数的积为y，则函数关系式为，自变量x的取值范围为，顶点坐标为.所以当第一个乘数为，第二个乘数为时，函数y有最大值，最大值是.

二、解疑合探

对问题（1），我们已经知道，头九尾合十的两个两位数相乘，共有9项乘积，什么情况下乘积最大.但问题（2）中，已扩展到两个三位数乘三位数，而且扩展至99项乘积，哪个乘积最大呢？怎样说明你的猜想正确？请大家先自主思考，再小组交流，最后小组展示.

预设1：学生类比问题（1）的结论得到对问题（2）的猜想.也可以计算问题（2）前面三四个乘积，得到乘积的初步变化趋势，再归纳得到猜想.

预设2：问题（2）中三位数乘三位数，因为逐个计算要计算99次（考虑到对称性也至少要计算50次），学生肯定不考虑计算验证法.

预设3：有了问题（1）的探究经验做铺垫，面对901×999，902×998，…，998×902，999×901新情境下建立函数模型解题的必要性和优越性学生应有较强的意识和感悟，但对解法的迁移，解法训练应是本课的重点，所以必须要求学生写出完整解题过程：设出自变量x和函数y、列出函数关系式、写出自变量x取值范围、求出顶点，答题.化解数学活动的难点更要充分体现学生主体性、参与性.鼓励学生合作交流.

预设4：有了问题（1）的多角度设自变量的经验积累，学生思维具有一定开放性.要鼓励和引导学生发散思维，教师可以安排两个小组分别展示各自不同的解法.

预设5：学生能总结反思、自主建构.总结探究过程的逻辑联系，反思自己的思想方法，归纳题目蕴含的结论、规律.

至此，本次数学活动，问题全部解决.通过类比、归纳等合情推理得到猜想，再验证或证明猜想正确.其中建立二次函数模型来说明猜想正确的方法，既简明又有说服力.还得到了两个数学结论.教师放手学生自主探究、合作交流，师生角色定位良好.教师设置疑问恰到好处.以问题引导探究活动，在探究中学会发现.安排自主思考与合作交流相结合，学生综合应用知识解决问题的能力、数学抽象和数学建模能力得到实实在在的训练.

三、质疑再探

质疑一：问题（2）与问题（1）情境虽然不同，但两者是否反映了一个共同规律？（预设：和一定的两个正数，当它们相等时，它们的乘积最大.分清楚命题的题设与结论，反复读一读、记一记、悟一悟、拓一拓.）

追问1：问题（1）中，头9尾合十，改为头6尾合8，也就是61×67，62×66，…，66×62，67×61中哪个积最大？

追问2：1×199，2×198，3×197，…，197×3，198×2，199×1中哪个积最大？

以上设计意图：通过变式和拓展，逐步加深对问题本质的认识.

质疑二：这个规律如何表述？

除了用文字表述，你还可以用数学符号语言怎样表示？（预设：优秀学生可以理解a>0，b>0时ab≤（a+b）24，当且仅当a=b时，等号成立.这样，自然地渗透了基本不等式，属于高中内容，教师点到即止，把握尺度.还可结合下面回顾，用典型图形表述.）

追问1：根据上述结论，你能自编一道类似的最值问题吗？

设计意图：从不同角度认识问题本质.

质疑三：这个规律有何应用？

“两个正数和一定，积最大”.生活中最常用的实例有哪些？（体现数学活动的综合性与实践性.）

回顾人教版义务教育教科书九年级上册第49頁探究1“用周长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？”

回顾人教版义务教育教科书九年级上册第52页第4题“已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大面积是多少？”

回顾人教版义务教育教科书九年级上册第51页第2题“某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可以卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？”

回顾人教版义务教育教科书九年级上册第52页第7题“如图所示，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？”

设计意图：数学活动作为一个单元内容全部结束之后的“综合与实践”，是前面学过的例题、习题等主干知识、方法和应用的回顾与复习.

“设疑引探—解疑合探—质疑再探”的“三疑三探”课堂组织模式，充分体现了数学活动自主参与性、综合性、实践性、开放性;通过深入挖掘教材，以问题为课堂活动导向，调动学生自主思考与合作交流，注重活动经验积累和思想方法渗透，学生数学抽象和函数建模能力得到不断升华.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学·九年级·上册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]邱炯亮.数学教学与模式创新[M].北京：九州出版社，2017.