二维正方晶格函数光子晶体带隙结构研究

李 宏，张斯淇*

(1.吉林工程技术师范学院量子信息技术交叉学科研究院，吉林长春130052；2.吉林省量子信息技术工程实验室，吉林长春130052)

光子晶体[1-2]是一种人工周期性结构电磁材料，有光子禁带、光子局域和负折射率等特性。光子晶体这些特性在材料科学、光子集成、凝聚态物理及信息技术等领域具有广泛的应用前景。在光子集成领域里，利用其带隙特性的各种光发射器件[3-5]、分束器、耦合器、波导、滤波器、光开关等逐渐从研究转向应用，其性能也在不断超越。通常光子带隙宽度影响光子晶体器件的性能，故在理论上研究如何设计出具有更宽带隙的光子晶体对光学器件的设计具有重要意义。光子晶体一直是国内外研究者们重点的关注对象，对光子晶体相关的研究[6-13]趋势呈迅猛增长，于1999年被《科学》杂志评为十大重要进展领域之一。

文献[14]提出了二维函数三角晶格光子晶体，其介质柱的折射率是空间坐标函数，不像二维常规光子晶体那样是定值。二维函数光子晶体可利用光强的分布来改变带隙结构，它是基于Kerr效应或电光效应来制备的，它的带隙结构可调性灵活。本文在此基础上，研究函数系数k对二维正方晶格函数光子晶体TE波和TM波带结构的影响。

1 二维函数光子晶体介电常数Fourier变换

文献[14]给出的二维函数光子晶体介电常数Fourier变换表达式为

其中ε(r)为与位置有关的介电常数，f为填充比，ra为介质柱半径。当εa(r)=εa时，εa为常数，则

可见，二维函数光子晶体介电常数的Fourier变换(1)式在特定的条件下，可变换成二维常规光子晶体的Fourier变换(2)式。

二维光子晶体TM波和TE波的特征方程为

2 数值模拟分析

下面研究二维正方晶格常规光子晶体和函数光子晶体的带结构。介质柱位于空气背景(介电常数εb=1)中，如图1(a)所示。二维正方晶格常规光子晶体的结构参数：介质柱材料的介电常数εa=8.9，介质柱半径ra=0.2a，晶格常数a=10-6m。利用平面波展开法，由(2)～(4)式计算二维正方晶格常规光子晶体TE波和TM波带结构图，如图2(a)和2(b)所示，图中纵坐标为归一化频率ωa/2πc，横坐标为波矢。在频率范围0～0.8（单位a/2π c）内，TE波带隙图中出现了1条光子禁带，位于归一化频率0.336～0.456，带隙宽度Δω=0.12。当光波频率处于此频段时，光波将无法通过光子晶体，而在其他波段可以通过，从而实现了选频作用。与TE波不同，在TM波下没有禁带，即所有频段的光波都可通过光子晶体。

对于二维函数光子晶体，介质柱介电常数是空间坐标函数。选取函数形式为εa(r)=k⋅r+8.9 (0≤r≤ra)，其中k为函数系数。利用平面波展开法，由(1)式、(3)式和(4)式计算二维正方晶格函数光子晶体TE波和TM波带隙结构图。图3(a)和3(b)分别为函数系数k=3×106，即εa(r)=3×106×r+8.9 (0≤r≤ra)，介质柱半径ra=0.2a时二维正方晶格函数光子晶体TE波和TM波带隙结构图。在频率0～0.8范围内，TE波有1条光子禁带，其位置在归一化频率0.329～0.454间，带隙宽度Δω=0.125。TM波没有禁带。比较图2和图3可知，在TE波情况下频率0～0.8范围内，二维函数光子晶体禁带宽度比常规光子晶体宽，且光子禁带位置发生改变。

图1 二维光子晶体正方晶格。(a)结构图；(b)第一布里渊区

图2 二维正方晶格常规光子晶体带结构图。（a）TE波;（b）TM波

图3 二维正方晶格函数光子晶体带结构图。（a）TE波；（b）TM波

在图4和图5中，函数系数分别取k=1.5×107和k=2.7×107，其他参数同图3。在频率0～0.8范围内，图4(a)中TE波有2条光子禁带：第1条禁带位于归一化频率0.311～0.441，带隙宽度Δω=0.13；第2条禁带的位置在0.752～0.779，带隙宽度Δω=0.027。图4(b)中TM波没有禁带。图5(a)中TE波有2条光子禁带：第1条禁带的位置在归一化频率0.296～0.432处，带隙宽度Δω=0.136；第2条禁带的位置在0.725～0.769，带隙宽度Δω=0.044。图5(b)中TM波没有禁带。比较图3,、图4和图5可以发现，在TE波情况下，随着函数系数k增加，带隙数目增多，带宽变宽，位置发生移动。

3 结论

综上所述，本文用平面波展开法研究了介质柱型二维正方晶格函数光子晶体的带隙结构。在其他参数不变的情况下，分析了函数系数k的变化对二维正方晶格函数光子晶体TE波和TM波带隙结构的影响。在二维正方晶格函数光子晶体TE波情况下，不同的函数系数k对应的函数光子晶体TE波的带隙数目、位置及宽度均不同。随着函数系数k的增加，带隙数目增多，带宽变宽。通过不同函数系数k的取值，来实现对二维函数光子晶体带隙的调节。与二维常规光子晶体相比较，函数光子晶体有较宽的带隙结构，且只要光强分布不同，二维函数光子晶体就可得到不同的带隙结构。可见，二维函数光子晶体可更加便捷地实现对带隙的调节，这将为光学器件的设计提供新的理论依据和重要的设计方法。

图4 二维正方晶格函数光子晶体带结构图。（a）TE波;（b）TM波

图5 二维正方晶格函数光子晶体带结构图。（a）TE波;（b）TM波