溯源解题错误，探索矫正策略——高中数学解题错误探析

江苏省新海高级中学 (222003)

徐 方

高中数学教学过程必定伴随着解题，学生在解题过程中出错在所难免.美国心理学家盖耶说：“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”在教学过程中，如果教师能够科学发掘错误的教学价值，就一定能让错误变“废”为宝.本文在综合解题错误的相关研究与教学实践的基础上，提出了矫正高中数学解题错误的四条策略.

1.对解题错误常见的认识误区

1.1 害怕学生出错，对待错误缺乏耐心

作业中错误越多，讲评时间越长，教学进度就会受阻；考试错误越多，班级均分就会拉低.迫于教学进度和教学考核的压力，不少教师逐渐失去了对学生的不同见解的尊重，失去了对待错题错误的耐心，甚至开始认为有些错误是不可理解、不能接受的，比如有些教师会对学生这样说：“这道题已经讲过好几遍了，班上还是有这么多人错.”“全班只有你把这道做错.”教师以这样的方式对待学生的错误，怎么可能引导学生形成对待错误的积极态度?

1.2 轻视错误原因诊断，注重反复训练纠错

错误其实并不可怕，可怕的是教师对学生的错误缺乏正确的认识和足够的重视，甚至以错误的方式对待学生的错误，比如部分教师批改试卷，作业时比较随意，批改速度太快.面对不同的学生解题思路与步骤的差异，教师有的时候就给一个勾或叉，或者只对错误进行“蜻蜓点水式”的归因分析，把错误重视简单地归结为不会听课、不善审题、不够细心、概念不清等等，或者采取“直接灌输式”即教师有意“绕开”错误，对错误避而不谈，课堂上把正确解法直接讲解一遍，然后将大部分时间用于同类习题的反复训练.这样纠错，错误会得到暂时的平息，但是由于缺乏对错误根源的探析，缺乏正误解法的必要对比以及适当的变式练习，日后再见时必会将错误进行到底.

2.对解题错误应有的基本认识

2.1 理性认识解题错误的基本特点

从习题特点来看，高中数学题具有知识范围广、抽象程度高、题目变式多、思路分析活，解题技巧强、定量计算难等显著特点;从认知特点来看，高中学生认知发展的不平衡性与个体差异比较明显;从数学发展史来看，与数学家同时载入史册的不仅是他们的伟大发现，往往还有他们的“低级错误”.由此可见，一直以来数学都是最难学的一门学科，高中学生在数学解题过程中出现的错误不仅具有历史性、复杂性、多样性、反复性、个体性以及群体性，而且往往具有必然性与合理性.

2.2 辩证认识解题错误的教学价值

面对错误，教师应该辩证看待其教学价值，既要看到错误对学生数学学习的负面干扰作用，也要看到错误本身所蕴藏的资源性价值与可利用性.比如解答题的列式推导演算过程，就能比较客观、全面地揭示学生的思维过程、思维特征、思维水平以及非智力因素等方面的信息，为师生科学纠错提供重要的教学资源.

2.3 科学利用解题错误的诊断功能

错误具有“透镜”的功能，它能将所有的重难点知识“折射”成一个集合体；错误也具有“B超”的能力，它能透过表面观察本质，比如个性化错误能够“观察”到个别学生的认知不足，群体性、反复性错误能够“观察”到学生在数学知识和思想方法应用上的普遍性确漏，同时也能“观察”到教师在相关内容上的教学问题；错误也具有“探测仪”的作用，它可以提前探明学生的认知基础，比如备课前的诊断性测试；错误还具有“导航仪”的本领，比如学生在课堂上出现的错误{包括解题错误}可以给教学过程的即时调整指明方向.

3.对数学解题错误的原因探析

3.1 教材内容的编排特点

部分高中数学教材内容的编排往往会受到编写格式、组织形式以及篇幅等因素的限制，它所呈现的知识逻辑多是减缩化、静态化的，而且通常是不完满、不连贯的，缺乏对数学思想过程的有效揭示.这样的编排特点，不利于学生合理构建数学概念，不利于学生深刻理解数学规律，不利于发展学生的科学思维能力，这就大大增加了学生在解题过程中出错的可能性.

譬如在学习苏教版必修2《直线与方程》中斜率与倾斜角关系时给出：当α为钝角时，我们规定tanα=-tan (180°-α)，课本直接给出，而这个内容是在必修4才学到.所以学生出现错误是难免的.

3.2 数学过程的实施方式

在教学过程中，由于教学课时紧，教学任务重，教师会把一些结论性知识或规律性知识直接教给学生，这种“知识本位”的教学方式可以称为“截流式”.学生在学习新知识的过程中，一般都需要体验知识的发生、发展过程，才能实现对数学知识和思想方法真正的理解，这种“体验过程”的学习方式可以称为“源流式”，比如学习概念需要经历其建构过程，学习规律需要经历其发现过程，学习实验需要经历其设计和操作过程，学习解题需要经历其思维过程.由此看来，教学方式和学习方式的矛盾，是造成学生认知困难、导致学生解题错误的重要原因.

譬如在学习奇函数时，很多教师会给学生一个重要结论：如果函数y=f(x)是奇函数，则f(0)=0，但是学生在做题时会不加考虑，拿来结论就用，往往忽略了“0是否在这个函数定义域内”这个条件，所以出现错误就不足为奇了.

3.3 学习认知能力的水平

比如学生由于只是贮备不足，认知水平达不到解题要求，知识和方法的负迁移、错误的前概念、思维的灵活性欠缺等原因导致出错.另外，学生在解题过程中出错与学生的非智力因素密切相关.教育心理认为，非智力因素虽然不直接参与认知过程，但直接制约认知过程，表现为它对认知过程的动力作用、定向和影响作用、维持和调节作用以及弥补作用.比如一个学习目标不明、学习动机不足、学习兴趣不浓、学习意志薄弱的学生在解题过程中出错也就是“情理之中”的事情了.

4 对数学解题错误的归类分析

4.1 基础知识类错误

所谓“基础知识类错误”主要是指学生由于知识体系不完整所导致的错误.比如由于不清楚相关概念之间的区别与联系所导致的错误，或者由于误解题意所导致的错误，或者由于遗忘相关知识(公式、定理、公理、数学模型等)具体的适用条件和范围所导致的错误，等等.

4.2 思维程序类错误

所谓“思维程序类错误”主要是指学生由于分析问题缺乏有序性或条理性所导致的错误.比如学生在解决较为复杂的问题时，有时候并非不知道相关的具体知识，而是因为思维跨度太大，跳过了某些必要的思维环节，导致得出的结论中存在片面、遗漏的情况，甚至是错误.

4.3 策略选择类错误

所谓“策略选择类错误”主要是指学生由于解题策略和方法选择不当所导致的错误.比如类比思维、等效思维、逆向思维、极端思维等常用的数学思维方法运用不当所导致的错误.另外，虽然解题思路和方法本身并没有错，但解题过程迂回曲折，导致解题过程繁琐易错，即使最终勉强解题成功，也可以认为是解题策略选择不当.

4.4 心理状态类错误

所谓“心理状态类错误”主要是指学生由于心理状态不够稳定所导致的错误，特别是指学生在某些重要考试中，由于考试紧张、焦虑所产生的各种“低级错误”.比如看错条件、写错答案、遗漏解答、答非所问等.

5 对矫正解题错误的策略探索

综合学生解题错误的相关研究与教学实践，笔者认为为了有效矫正学生在数学解题中出现的错误，应该在平常的数学教学中注重以下方面：

5.1 联系新旧知识，构建知识体系

新知识的学习是在原有知识经验的过程基础上进行理解和建构的.学生在解题过程中出错，究其原因，往往是学生在学习新知识的过程中没有能够建立好新旧知识的联系，没有能够形成完备的知识体系.比如在学习解一元二次不等式时很多学生在写解集时会出现各式各样的错，为了帮助学生少出错，在新课教学中，笔者进行如下尝试：

解不等式5x2-10x+4.8<0(苏教版必修5.P75引例)

第一步：解方程5x2-10x+4.8=0，得x1=0.8,x2=1.2;

第二步：画出抛物线y=5x2-10x+4.8的草图；

第三步：根据抛物线的图像，可知5x2-10x+4.8<0的解集为{x|0.8

这是课本上给出解一元二次方程的方法和步骤.

要使学生顺利掌握这种方法，学生对如下具体知识的掌握情况至关重要：第一，解一元二次方程；第二，画二次函数的图像；第三，根据图像的标识写出解集.因为解一元二次方程、画二次函数的图像和根据图像的标识写出解集是初中学习内容，很多学生都忘了.所以，教师只要想办法让学生回忆起怎样解一元二次方程、画二次函数的图像和根据图像的标识写出解集，就能使全班学生都达到掌握这一种方法所必需的认知准备条件的要求.因此笔者在学习本节课时先给出如下问题：

(1)请你解下列方程：x2-1=0;x2-2x+1=0;2x2-x-3=0;x2+x+1=0.

(2)请你画出一次函数y=2x+1的图像，并根据图像写出当自变量x>1时的函数y的取值范围同时指出当y<1时，此时自变量x的取值范围(从学生熟悉的一次关系入手，容易理解).

(3)请你画出二次函数y=2x2-x-1的图像，并求其零点(回忆画二次函数图像的基本方法和函数零点，联系二次函数与二次方程).

(4)观察(3)中图像，分别指出图像在x轴上、下所对应的函数自变量x的取值范围(从图像入手，形象直观).

教师可以尝试引导学生进行一元二次方程和二次函数图像进而发现新旧知识的共同特征和本质联系，形成完善的知识体系.

5.2 辨析解题思路，优化解题策略

在习题纠错教学中，部分教师习惯让自己代替学生对问题进行分析，教师基于自己所拥有的完善的知识结构，分析问题总能直指“要穴”，解题技巧熟练、解题速度快捷、解题方法最优.对于这样的教学，部分学生由衷赞叹：“老师，你的思路太好了！”当然，赞叹之余还有追问：“老师，这么好的思路，我怎样才能想好呢？“学生的追问说明，这种”包办式习题教学“不能给予学生最想要的东西——解题策略，却能给予学生最不想要的东西——解题错误.那么，如何提升学生的解题策略的选择能力？通过注重辨析解题思路的教学可以做到.

5.3 还原学生思维，引导有序分析

面对复杂的问题，经常出现“老师一讲就懂，学生一做就错“的现象，分析问题缺乏有序性(喜欢”凭感觉“、习惯”跳步子“)是主要原因.所谓”分析问题的有序性“是指解题者在分析和解决问题时遵循一定的顺序，按照特定的线索和步骤去思考和探索的一种思维方式.为了培养学生有序分析问题的思维习惯，采用“还原学生思维”的策略组织教学是一个不错的办法.

在复习函数定义域和值域时有这样一道题：

这道题笔者不管教哪一届学生错的都很多.对于这种类型的“板块问题”求解思路通常是：(1)利用对数函数定义域成立的条件；(2)给出t=x2+2x+a>0的条件；(3)想到根的判别式.很明显，问题就出现在第一个思维环节，或者说缺少了这个环节所需要的“理性分析”.

如何纠错，基于上述错误分析，笔者设计并完成了如下的教学尝试.

问题1 函数y=log2x的定义域和值域是什么？

问题2 你能画出y=log2x的图像吗？

问题3 通过图像观察当函数y=log2x的值域为R时，自变量x的取值有什么特征?

问题4y=log25x的值域是什么？

教学反思:课前，笔者充分了解了学生的思维过程，弄清了“学生是怎么错的”，并沿着学生的错误思路设计了上述的“矫正问题链”；课上，笔者还原了学生最原本的思考问题的过程和方法，让学生在不断出错、不断纠错的同时体悟到有序分析问题的重要性.

5.4 创设对比变式，促进深度思考

所谓“深度思考”是指学生分析问题时能够弄清问题所依赖的知识结构，并能准确分解构成问题的若干因素，合理建立知识与问题的深层次结构性联系.部分学生对常规习题能够“应对自如”，但稍加变化后就会“招架不住”，究其原因往往是因为学生思考问题时缺乏深度，致使解题不够灵活，容易出错.比如不少同学习惯从题目的问题入手，还没审清题意就着急套用公式进行解题.为了帮助学生学会深度思考，教师可根据错误的特点，在教学过程中创设具有强烈对比意味的变式训练，这是因为，由“强烈对比”而生的“显著差异”会促使学生深入分析错误的根源.

6.结束语

综上所述，面对学生在数学解题过程中出现的错误，教师应该追本溯源，合理利用其教育价值，并提供机会让出错的学生独立思考、同伴讨论或师生交流的基础上自我反省并纠正错误，以此帮助学生在数学解题的过程中学会“自我诊断、查错纠错”的方法，增强学生学好数学的信心，激发学生学习数学的热情和战胜困难的勇气.