数（shǔ）之表象，数（shù）之本质

金妤茜

笔者有幸观摩江苏宁雅瑛老师执教“千以内数的认识”宁雅瑛老师的课上设计了大量颇为有趣的操作体验活动，让学生在摆数、数数和拨数等过程中操作、观察、比较和归纳，以形象的“数（shǔ）”聚焦抽象的“数（shù）”，逐步形成数的意识，建立数的概念，理解数的意义，感受数的应用，进而形成数感。

一、不同之“和”

【教学片段1】摆数

师：现在有多少小动物？

生：324。

师：324这个数你能用学具盒中的材料表示出来吗？4人一组，动手摆一摆。

学具盒中有：小棒、计数器、小方块等。

学生分组操作，全班交流。

生：我是用小方块摆的，我先摆3个百，2个十，再摆4个一，这就是324。

生：我用小棒来表示的，我也是用了3个百，2个十和4个一。

生：我是用计数器来表示的，我先在百位上拨3粒珠子，十位上拨2粒珠子，最后在个位上拨4粒珠子。

师：同学们用计数器、小棒和小方块都表示出了324，为什么？

生：因为只要表示出3个百，2个十和4个一，合起来就是324。

小结：明确了有几个百、几个十和几个一，就知道这个数是几百几十几了。

【赏析】在学习“千以内数的认识”之前，学生已经经历了10以内数的认识、20以内数的认识、百以内数的认识，而且也都有借助计数器、小棒等学具进行辅助学习。本节课上，宁老师选用多种素材请学生通过摆一摆的操作活动表示出324，可谓一举多得。其一，调动了学生已有的认数经验，即在不同阶段使用的表达数的方式，如小棒、方块、计数器等，用熟悉的素材来表示新的数，无形中促进了数知识的迁移。其二，小棒、方块等在表示数的过程中帮助学生再次建立了相应计数单位的表象，比如一捆小棒就表示十，一大捆小棒就表示百等;而计数器不仅帮助学生回顾了已学的计数单位和计数单位之间的十进制关系，并且初步渗透了位值思想。其三，由小棒和方块再到计数器，不同层次的表征方式持续刺激学生去深刻感悟数的组成，从而达成对数的意义的抽象理解。学生通过自己动手操作，发动多种感官获取最直接的感觉，然后教师引导学生理性思辨，得出不同的摆法，其实讲述着同一个数学道理，即学生口中的“3个百，2个十和4个一，合起来就是324”。

二、变化之“本”

【教学片段2】数数

要求1：一十一十地数，从350数到460。

学生先在计数器上表示出350，然后按要求尝试。

师：390再加10，是多少呢？

生：十位满十，向百位进一，变成400。

师生继续边拨边数。

要求2：一个一个地数，从989数到999。

学生先在计数器上表示出989，然后按要求尝试。

师：一个一个地数，是在哪一位上添珠呢？

生：个位。

师：989，再在个位上添上1颗珠，是多少呢？

生：个位满十，向十位进一，得到990。

师生继续边拨边数。

要求3：999，如果再添上1颗是多少呢？

师：在计数器上怎样表示呢？

生：个位满十向十位进一，十位满十就向百位进一，百位也满十了，要再向前一位进一。

师：这时的计数器还够表示吗？

生：不够，要添上一个数位“千”。

师追问：千在哪儿呢？

生：百位的左面，从右往左数第四位。

师：不错，这就是我们今天要学习的新的计数单位——千。

要求4：学生从表示100的方块开始，一百一百地数到一千。

要求5：学生看着数轴数，一百一百地数到一千。

（从左往右依次出现）

师追问：学到现在我们认识了哪些计数单位？它们之间有着什么样的联系？

生：我们已经认识了个、十、百这些计数单位，今天又认识了新的计数单位——千。

生：10个一是十，10个十是一百，10个百是一千，每个相邻的计数单位之间的进率是10。

【赏析】数是一个抽象的概念，而“数一数”能让这种抽象概念以直观又有序的方式呈现出来，从一个一个地数、一十一十地数，再到一百一百地数，学生的经验在自然生长，对千以内的数也有了初步感知。对于“千”，学生应该早已接触，基于生活经验或是源于课外读物，但都只是停留在表面的认识。当进行到“数到999，再添上1，是多少”时，学生借助已有的数数经验和知识结构，自然会产生用新的计数单位表示的需求。这个过程，学生进行的是理性的思考和推理，从而触摸到了计数单位形成的本质“十进制计数法”。最巧妙的是宁老师并没有浅尝辄止，她借助方块和数轴这两个数学化的载体让学生一百一百地数，趁势突出了10个百是一千，从而让学生在原有的知识基础上充分理解计数单位“千”的实际意义。整个环节，教师的追问和提领，帮助学生在感性认知与理性演绎中对“千”的认识从表象走向本质。

三、相同之“质”

【教学片段3】拨数

出示：

师：仔细观察，这几个计数器分别表示的是哪些数？

生：分別是998，980，908和800。

问题1：（指第一个计数器的个位）这8颗珠表示什么？另几个计数器上的8颗珠又分别表示什么意思？

生：分别表示8个一，8个十和8个百。

师追问：同样是8颗珠子，怎么表示的含义不一样？

生：因为珠子所在的位置，也就是数位不一样，表示的意义也不一样。珠子的个数和所在的数位都非常重要。

问题2：在哪个计数器上，如果再拨2颗珠就能到1000了？

生：在第4个计数器的百位上再拨2颗珠，就变成了10个百，10个百就是1000。

生：在第1个计数器的个位上再拨2颗珠，满十进一到十位。十位又满十，再进一到百位，百位也满十，再进一到千位，千位上有1颗珠子，就是1000。

生：在第2个计数器的十位上拨2颗珠，十位满十进一到百位，百位本来就有9颗珠子，所以百位也满十，再进一到千位，得到1000。

师追问：我们通过在不同数位上再拨2颗珠都得到了1000，要得到1000的关键是什么？

生：首先考虑要使百位能满十进一就能得到1000了。

生：百位上满十进一得到1000，而其他数位上不能有别的珠子。

小结：拨珠时要思考每个数位上已有的珠子和相邻计数单位的十进制关系。

【赏析】当学生的记数方法从累数制发展到位值制时，计数器是极好的载体。而位值作用只有在与其他位置产生联系和区别时才能凸显。宁老师设计的“读数拨珠”的活动，形数结合，珠动而数出，指向学生的思维涌动，学生对计数单位和位值思想的认知得到了内化和提升。首先用计数器呈现了4个数，请学生读数，然后问题聚焦到“同样是8颗珠子，怎么表示的含义不一样？”通过类比观察，学生加深了对计数单位意义的本质认识：同样的数字在不同的数位上表示的意义不同。接着宁老师抛出挑战性问题“在哪个计数器上，如果再拨2颗珠就能到1000了？”这是个动手操作与动脑思考并行的数学活动，将对数的本质理解体现得淋漓尽致。其一，“再拨2颗”，2颗拨的数位不同，表示的数值也不同，学生在动手拨之前先进行推理和计算，并且是基于计数单位的计算。如800，再拨2颗珠子，学生思考的是8个百加2个百等于10个百，10个百就是1000。其二，连续的“满十进一”思维操作，促进了学生对“十进制计数法”的建构。如998，再拨2颗珠在个位，满十进一到十位，十位又满十进一到百位，百位也满十进一到千位，这时千位上有1颗珠，就是1000。如此体验，学生对满十进一的认知就不是单一地停留在某一个数位，而是一次完整的经历和感悟。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校？摇？摇？摇？摇责任编辑：王彬）