数列通项公式的常见题型及求法

冯淑萍

【摘要】数列通项公式是高考重要考点之一。从历年高考及教学情况来看，数列通项公式试题的题型复杂，求解方法灵活多样，需要在解题过程中充分利用转化与化归思想进行相应题目的求解计算，是高中数学教学关注的重要内容。文章结合教学实践对数列通项公式的常见题型与求解方法进行了总结分析，以供参考。

【关键词】数列通项公式；常见题型；求法

高中数学数列通项公式求解中，比较常见的题型主要包含给出前几项和、给出递推关系和周期函数型几种数列通项公式计算，其主要解题方法包含公式法、观察归纳法以及递增关系变形法等。下面结合数列通项公式的教学实践与体会，对其常见题型与求解方法进行总结，以供参考。

一、给递推关系的数列通项公式及求法

（一）递推关系的数列通项公式常见题型

一般情况下，对题目中给出数列的前几项，要求其数列通项公式的题型求解分析中，可通过对给出前几项数列规律的观察基础上，对该数列的通项公式进行计算求解。

比如，在某例题中，给出了该数列的前四项，要求求出该数列的通项公式，像“已知 ， ， ， ， ”或者“已知1， ， ， ， ”，求数列通项公式。

在进行上述数列通项公式计算中，根据所给出的各项数列，进行观察分析后发现，在“已知 ， ， ， ， ，求数列通项公式”一题中，其各项数列分母分别为 ， ， ， ，因此可将数列的第一项转化为 ，其余各项分别为 ， ， ， ，从而得出该数列的通项公式为 。

在“已知 ， ， ， ， ，求数列通项公式”一题中，通过将原数列转化为 ， ， ， ， ，后可观察得出其数列通项公式为 。

再比如，在进行 ，其中 为常数的数列通项公式计算题型中，可以根据等比数列的定义，在判断数列为等比数列的情况下，采用公式法进行计算。

如：已知数列 满足以下条件， ， 求该数列的通项公式。可以根據题目求出该数列的公比，并且根据等比数列的定义，在确定首项的情况下，计算得出其通项公式为 。同样，对于数列 ，其中， 是以 作为自变量的函数，对其数列通项公式可以采用累乘法 进行计算分析。像“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”一题，就可以根据题目中给出的已知条件，通过累乘法计算得出其数列通项公式为 。

（二）递推关系的数列通项公式求法

在“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”一题中，根据题中已知条件可以运用猜想证明、归纳证明以及累加法、换元法、待定系数法等多种方法进行计算求解。

其中，猜想证明法也是数学归纳证明法，从有限个特殊情况中猜想总结与归纳一般的结论，并通过严格证明对该猜想归纳的过程进行验证，从而获取相应的数列通项公式。根据上述题目中的已知条件，在推算获取 ， ， 等其他各项数列的结果后，根据各数列关系可猜想得出 ，对该猜想结论可以通过假设 或 ，将该条件代入上述猜想结果中进行验证，最终证明该猜想成立。因此，数列 的通项公式为 ，其中 。

其次，采用归纳证明法进行“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”一题求解计算中，根据题中给出的已知条件，将 代入得出 ， ， ，根据各数列结果，归纳总结得出 。对于归纳分析后计算得出的结果，还可以通过代入验证进行证明，以确保计算结果的准确性。

运用累加法进行上述例题“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”计算中，结合题目中的已知条件，将该数列转换成为可以累加的一系列式子后，通过累加计算得到相应的数列通项公式，即根据该题中已知条件，在 的情况下，可以根据 得出 ，即 ， ，将各计算结果累加可得 ，因此， ，将 代入验证后该结果仍然成立，因此，该数列通项公式为 。

对上述例子“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”，还可以采用构造法进行数列通项公式计算，具体方法如下。

根据该题目中给出的已知条件，将 的两边同时除以 后可得到 ，然后采用累加法求出数列 的通项公式，从而计算求出数列 的通项公式，即 。

二、给出前项和的数列通项公式及求法

在给出数列前项和的通项公式计算中，以“ 为常数”为例，根据等差数列的定义能够判断出其数列为等差数列，因此可以采用公式法进行计算求解。

比如，在“已知数列 满足以下条件， ， ，求该数列的通项公式”一题中，根据等差数列的定义，可以判断出该题中的数列为等差数列，因此对其数列的通项公式计算可以采用公式法，具体如下。

根据题目可知 ，且数列 满足首项 ，同时又为等差数列，因此可得出其数列通项公式为 。

此外，在“ ，其中， 为以 作为自变量的函数类型的数列通项公式”计算中，多采用累加法进行求解分析，即 。比如“已知数列 满足以下条件， ， 求该数列的通项公式”一题中，根据题目可知， ，通过累加法代入各项数列进行计算可得出 。

三、周期函数型数列通项公式求解分析

对于周期函数型数列通项公式的求解计算，如“已知数列 满足以下条件， ， ，求 ”一题中，分别给出相应的题目选项，即“A. ，B. C. D. ”，要求选出正确的选项。根据题目中已知条件，在确定该数列首项，并对其余各项数列进行推算得出后，判断该数列为一个周期数列，其中数列的最小正周期值为 ，即可求出相应的数列项 。

四、数列通项公式高考命题的思想方法分析

掌握数列通项公式高考命题的思想方法，对教学开展以及数列通项公式的解题作答都有着非常重要的积极促进与指导作用，使学生在学习实践中将所学数学知识转化成相应的基本技能，以促进学生良好思维能力与知识素养的培养提升。高中数列知识不仅渗透类比、转化、化归以及数形结合、分类整合、函数、方程多个数学知识与思想方法，根据最近一年高考试题中数列通项公式的命题方向及其解题思想方法等，主要集中在对等比与等差数列的概念以及通项公式前 项和公式等基础知识及其算法的掌握考查上，同时在数列通项公式知识考查方面，也加强了对数学的基本思想以及基本方法等方面考查，其整体所考查的思想方法可以总结为四个方面，即方程、转化和化归、分类整合、函数等。

首先，在通过数列通项公式求解进行高中数学方程知识有关思想方法考查上，在运用数列的基本量法进行解题计算中，需要根据题目中设定的已知条件，在对数列通项公式以及求和公式进行综合分析后，进行相应的方程或方程组构建。其次，对转化与化归知识内容和思想方法的考查体现在通过数列的递推公式对其通项公式进行求解计算中，对解题者的观察分析以及推理能力要求相对较高，通过对其思维变形和转化、转归能力的考查，在实现数列中递推关系的灵活变换同时，实现相应的等比或等差数列转换，以完成数列通项公式求解。关于分类整合以及函数思想，在历年的数列通项公式高考命题考查中体现得也比较丰富，像对包含函数知识的数列通项公式求解计算，需要在对数列通项公式和函数之间关系理清并掌握前提下，利用函数的图象与性质对解题计算过程进行简化，从而快速准确地求出数列的通项公式。

五、结束语

总之，数列是高中数学学习的重要内容之一，在高中数学教学中具有非常重要的作用和影响，并且和函数、方程以及数列、不等式知识内容之间存在密切的联系，对后续数列极限以及级数的学习存在重要影响，是教学关注和研究的重点之一。在数列通项公式计算中，题型繁杂，且其求法灵活多样，在实际教学中对上述列举方法也可以结合应用进行求解计算，以快速、准确地求出正确结果，达到数列通项公式教学目的。

【参考文献】

[1]刘妍妍.从一例题及变式中看数列通项的常见求法[J].高考，2016（09）：9.

[2]杨文庆，徐晓燕.形如 （ ， ， ， ， 为常数且 ）的数列通项公式的求法[J].新课程（下），2016（02）：24-25.