圆在高中物理中的应用

2019-04-24湖北荣万军

教学考试(高考物理) 2019年1期

关键词：画圆圆心夹角

湖北荣万军

用数学知识解决物理问题贯穿整个高中物理，尤其是高三的复习教学中。圆是解析几何中的重要图形，很多物理问题要用圆的知识来解决。本文从圆的组成要素出发，初步归类高中遇到的有关用圆的几何知识来解决的物理问题。

圆的组成要素有轨迹、圆心、直径、半径、切线，可以延伸的有圆周角、圆心角、弦切角等等。

一、利用圆的轨迹来解决问题

1.等时圆

【例1】如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a、b、c处释放(初速度为0)，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则

( )

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3

【解析】任选一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2所示。

由牛顿第二定律得，mgcosθ=ma①

由几何关系得细杆长度L=2Rcosθ②

可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。

【变式训练】如图3所示，在倾角为α的传送带的正上方，有一发货口A。为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角β应为多少？

【解析】如图4所示，首先以发货口A点为最高点作一个圆O与传送带相切，切点为B，然后过圆心O画一条竖直线AB′，而连接A、B的直线，就是既过发货口A，又过切点B的唯一的弦。

2.等势圆

【例2】如图5所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的。在底边中点O点处放置一正电荷Q，一个质量为m，电荷量为q的带负电的质点从斜面顶端沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为v。试求该质点滑到非常接近斜边底端C点时速率vC为多少？

【解析】由几何关系知OB=OC=OD，则以O点为圆心，OB为半径画圆，如图6，故B、C、D在圆周上，则由点电荷的等势圆可知φD=φC，故从D到C由动能定理得

其中h=CDsin30°=BCcos30°sin30°

3.解析圆

【例3】图7为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h=3 m 的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB=60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。若选手以v=4 m/s的水平速度跳出落到弧形坡，求该选手在空中的运动时间。

水平距离：x=vt

又由圆的知识可知：x2+y2=h2

联立可得t=0.6 s

【例4】如图8所示，坐标原点O处有一粒子源，向y≥0侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v，质量均是m，电荷量均是q。有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正向运动。试求出此边界的方程，画出此边界线的示意图，并计算该磁场区域的最小面积。

【解析】由题知，入射点固定，出射速度都平行x轴正方向，是“磁发散”模型。设粒子做匀速圆周运动的半径为R，有：

以其中任意一个粒子为研究对象，设其速度方向与x负轴成θ角，过点O作速度的垂线，并以O为圆心，以R为半径画圆交速度垂线于O1点，则此粒子轨迹圆的圆心为O1，再通过圆心O1作y轴的平行直线，并以O1为圆心，以R为半径画圆交直线于P点，如图9所示。

粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就是磁场区域边界上的一点。而对于不同入射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线。设P点的坐标为(x，y)，则有几何关系：

x=Rsinθ③

y=R+Rcosθ④

上述是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得

x2+(y-R)2=R2⑤

故该磁场区域边界是半径为R，圆心O2坐标为(0，R)的圆，其磁场区域的边界线如图所示，其边界方程为

故磁场区域最小面积为

二、利用圆的直径来解决问题

1.用最大的弦(直径)确定边界

【例5】如图10所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L=4d，OM=d且O与S间的距离为d，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，不计电子重力。电子源发射的电子做匀速圆周运动的半径都为d，设电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则正确的是

( )

根据山羊的体重，分大、中、小3种。小羊按15 mL、中等羊17 mL、大羊按20 mL灌服。根据所需的药量，按整袋计算，倒入桶中，加相应数量的水。将羊分群赶入固定在活动保定栏中，人员进行分工：2人抽药，1人用自喷漆标记，2人保定羊，2人用注射器向羊口中推药。280只羊大约需要1 h。

SC=dsin60°

SC2+BC2=(2d)2

又O1D2+[d(1-sin60°)]2=d2得

2.用最大的弦(直径)确定时间

【例6】如图14所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，能在纸面内源源不断地向各个方向发射速度大小均为2kBr的带正电的粒子(重力不计)，其中k为粒子的比荷，则粒子在磁场中运动的最长时间为

( )

三、利用圆的半径来解决问题

1.以矢量大小为半径画圆

【例7】已知船在静水中的速度为v1=4 m/s，而河水的流速为v2=5 m/s，要使船渡河的路径最短，则船头与河岸的夹角是多少？

【例8】两个共点力大小分别为F1=10 N，F2=5 N，两力方向夹角可在0～180°连续变化，求：合力与F1的最大夹角。

2.以线段长度为半径画圆

【例9】一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点。若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示，则下列说法正确的是

( )

A.增加重物的重力，BC段先断

B.增加重物的重力，AC段先断

C.将B端往左移时绳子容易断

D.将B端往右移时绳子容易断

【解析】对C点受力分析如图19所示，因AC>CB，由几何关系可知α<β，则由正弦定理可知BC段绳子上的拉力FT2大于AC段绳子上的拉力FT1，故BC段先断，A选项正确。以AC为半径画圆，B端往右移后以BC为半径画圆，两圆的一个交点就是C端，如图20所示，此时两分力的夹角变大，而合力等于物体的重力不变，故两分力增大,因此,将B端往右移时,绳子容易断,D正确。