分类讨论在热学解题中的应用

2019-04-24曹少平

物理教师 2019年4期

曹少平

(湖北枝江市第一高级中学,湖北枝江 443200)

分类讨论思想是中学物理解题中的一种重要思想方法,它一般是在原问题不能统一解决的情况下,将其分解成相互独立的若干子问题来处理,最后综合这些子问题的解答,得到对整个原问题的解答．分类讨论思想在学生的思维、推理过程中起着重要的作用,它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在物理解题中的体现．也就是说,如果被研究的问题包含多种情况,不能一概而论时,那么将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形,并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去,再进一步讨论每一种情形的特性,得出每类情形下相应的结论,即所谓的分类讨论思想．分类讨论思想在解析中学物理热学题中有很多应用,下面结合实例谈谈分类讨论思想的应用．

1 活塞或气缸分“动”和“不动”两种情况讨论

图1

例1.如图1所示,长为2 L的圆筒状气缸可沿动摩擦因数为μ的水平地面滑动,在气缸中央有一个横截面积为S的活塞(气缸与活塞之间的摩擦不计),气缸中封闭的理想气体温度为T0,压强等于外界大气压强P0.气缸和活塞的总质量为m,在固定壁与活塞之间连有一劲度系数为k的轻弹簧(处于自然长度),现对气体缓慢加热(设气缸与地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力),求当气体体积变为原来的2倍时的温度．

解析：本题是热学和力学的综合题力学综合题,仔细分析可以发现,摩擦因数大小不同,会出现不同的结果．当气体受热膨胀时气缸始终静止不动是一种情形;在膨胀过程中气缸发生移动将得到另一种情形．下面分两种情况讨论．

(1) 在μmg>kL的情况下,气缸始终处于静止状态．活塞平衡条件为kL=(p-p0)S.

据理想气体状态方程有

(2) 在μmg

活塞平衡条件为(p-p0)S=μmg.

阶段2.气缸发生移动后,设最终温度为T,初始状态压强p1=p0,体积V1=LS,温度为T1=T0

点评：本题的已知条件不明确,即气缸是否发生移动不明确,要求学生在求解的过程中自已补充必要的条件,然后再针对补充的不同条件进行求解．且不同的补充条件对应不同的物理情景，会产生不同的计算结果．求解本题的关键要注意分析气缸的运动过程,当温度缓慢升高时,气体的压强逐渐增大,弹簧被压缩,弹力逐渐增大.当弹簧的弹力与气缸受到地面的最大静摩擦力相等时,气缸开始向左移动,气体的压强不变．这种试题对学生的能力要求更高,要求学生有较强的分析判断能力、逻辑推理能力、物理表达能力以及创新能力．

图2

针对训练1：如图2所示,水平放置的柱形气缸内用活塞封闭一定质量的理想气体,初始温度t0=27 ℃,体积为V0=100 cm3,活塞面积为S=10 cm2．开始时容器内外压强均为p0=1.0×105Pa,已知活塞与缸壁间的最大静摩擦力为f=5.0 N,且等于滑动摩擦力.

(1) 若将温度升高到t1=37 ℃时气体的体积是多少?

(2)若将温度升高到t2=127 ℃时气体的体积是多少?

因为p1S

答案：(1) 100 cm3，(2) 127cm3.

2 细线分“松驰”和“张紧”两种情况讨论

图3

解析：设加热前,被密封气体的压强为p1,轻线的张力为F．因而活塞处在静止状态,对A活塞有

2poS-2pS+F=0.

(1)

对B活塞有

p1S-p0S-F=0.

(2)

由(1)、(2)式得

p1=p0.

(3)

F=0.

(4)

即被密封气体的压强与大气压强相等,细线处在拉直的松驰状态．这时气体的体积

V2=2SL+SL+SL=4LS.

(5)

对气体加热时,被密封气体温度缓慢升高,两活塞一起向左缓慢移动．气体体积增大,压强保持p1不变,若持续加热,此过程会一直持续到活塞向左移动的距离等于l为此,这时气体体积

V2=4SL+SL=5SL.

(6)

设此时气体的温度为T2,由盖-吕萨克定律V2∝T2有

(7)

由(3)、(6)、(7)式得

(8)

p2=p0.

(9)

当T>T2时,活塞已无法移动,被密封气体的体积保持V2不变,气体经历一等容升压过程．当气体的温度为T时,设其压强为p,由查理定律p∝T,即有

(10)

由(8)～(10)式得

(11)

点评: 本题中对被密封的气体加热使其温度缓慢上升到T,轻线是“松驰”还是“张紧”是不确定的,因此要分两种情况讨论．能较好考查科学推理、科学论证和质疑创新等核心素养．

图4

针对训练2:如图4所示,两端开口的气缸水平固定,A、B是两个厚度不计的活塞,可在气缸内无摩擦地滑动,其面积分别为S1=20 cm2、S2=10 cm2,它们之间用一根细线连接,B通过水平细绳绕过光滑的定滑轮与质量为M=2 kg的重物C连接,静止时气缸中气体的温度T1=450 K,气缸两部分的气柱长均为L,已知大气压强p0=1×105Pa,g取10 m/s2,缸内气体可看作理想气体.

(1) 求活塞静止时气缸内气体的压强;

(2) 若缓慢降低气缸内气体的温度,求当活塞A、B间细线的张力刚好减为0时气缸内气体的温度.

解析： (1) 对活塞A、B整体,根据平衡条件得p1S1+p0S2=p0S1+p1S2+Mg,解得p1=1.2×105Pa.

3 水银分“溢出”和“不溢出”两种情况讨论

图5

例3.如图5所示,有一个直立的气缸,气缸底到气缸口的距离为L0,用一厚度和质量不计的活塞封闭一定质量的理相想气体,平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小(计算时可忽略不计),周围大气的压强为H0水银柱.现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上(瓶子的质量可忽略),平衡时活塞到气缸底的距离为L.若不是把这瓶水银放在活塞上,而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方,这时活塞向下移,压缩气体,直到活塞不再下移.求此时活塞在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件(即题中给出量之间应满足的关系).设气体的温度不变．

解析：设整瓶水银放在活塞上后,使气缸内气体增加的压强为h水银柱,由玻意耳—马略特定律

H0L0=(H0+h)L,

(1)

解得

(2)

h的大小反映了水银质量的大小.

当水银注入后,活塞不再下移时,设活塞上水银的深度为ΔH,活塞下移的距离为Δx,则由玻意耳—马略特定律得

H0L0=(H0+ΔH)(L0-Δx).

(3)