价格随机变化的面向订单企业原材料库存优化模型

陈光会，赵 议，苏 兵

（西安工业大学 经济管理学院，西安 710021）

0 引言

原材料库存优化主要包括原材料购买价格变化一次和变化多次的库存优化问题。其中，原材料购买价格变化一次的库存优化又分为购买价格上涨的库存优化模型[1]和购买价格下降的库存优化模型[2]。原材料购买价格变化多次的库存优化包括购买价格连续变化的库存优化[3-5]和购买价格随机变化的库存优化。对于原材料购买价格随机变化的库存优化研究中，Wang Y（2001）[6]以最小化期望库存成本为目标建立原材料库存优化模型，Berling P（2008）[7]令单一产品的购买价格随机变化符合OU过程，以总库存费用最小为目标建立库存优化模型；胡雄鹰等（2008）[8]讨论了价格季节性随机波动环境下的产品采购；陈素芬等（2012）[9]令原材料购买价格的随机变化服从布朗运动，以有限期内企业利润最大为目标建立库存优化模型。还有一些文献研究了面向订单[10（]make to order）企业库存优化问题。Lu Y,Song J S（2005）[11]针对MTO企业原材料库存成本最小为目标建立原材料优化模型；武育楠（2011）[12]在需求为正态分布的情形下，建立了以期望利润最大为目标的MTO企业原材料库存优化模型。

对国内外相关研究进行总结，发现现有的面向订单企业原材料库存优化要么以总成本最小，要么以期望利润最大为目标建立模型并求解，但都假设客户订单能被完全满足，这一点与企业的实际情况不符。针对以上研究的不足，本文在考虑原材料购买价格波动的基础上，结合面向订单企业库存管理的特性，考虑原材料的供应因素以及客户订单满足率，以克服以往面向订单企业库存优化未考虑客户订单满足率的不足，以库存总成本即订购成本、采购成本、缺货惩罚成本之和最小和客户订单满足率最大为双目标，对基于客户订单满足率最大且总成本最小的原材料库存优化问题建立模型并进行求解，给面向订单企业库存优化提供依据。

1 问题描述与模型构建

1.1 问题描述

面向订单企业接到客户对产品A的订单，其需求量为D，生产一件A产品需要n种原材料，分别为xi(i=1,2,…,n)，原材料购买价格是连续随机变化的，客户订单的到来也是连续随机变化的，以面向订单企业总成本最小且客户订单满足率F最大化为目标，决策A产品订单下的原材料采购量，其中所有原材料都依赖于采购且都配套采购，并使得客户订单满足率F∈[a，b] 。

为更好地解决价格波动的面向订单企业原材料库存优化问题，给出以下假设条件：

（1）生产中无残次品，且都符合客户要求；

（2）企业的生产成本和生产时间都可以忽略不计；

（3）客户订单不会被取消，且无紧急订单；

（4）为满足客户订单而采购的原材料不入库直接生产。

令K表示固定订购费用；Qi表示第i种原材料采购量的单位持有费用；Pi表示第i种原材料的单位购买价格；hi表示第i种原材料的单位持有费用；bi表示第i种原材料的单位缺货成本；f表示客户订单满足率；D表示客户订单量；ai表示第i种原材料的单位需求量。

1.2 模型构建

综合考虑问题目标和所有的限制条件，建立模型如下：

目标函数（1）：企业总成本最小；目标函数（2）：以客户订单满足率最大为目标，由第i种原材料最小的采购量决定产品的生产量（即实际供应量）除以客户订单需求量。

约束（3）产品A客户订单满足率F小于等于最小的原材料的满足率；约束（4）面向订单企业对产品A的供应量的约束；约束（5）原材料采购价格服从布朗运动dPi=μidt+piσidω；约束（6）原材料的采购量的约束；约束（7）单位采购成本小于单位惩罚成本。

2 模型求解

2.1 设计近似算法CA对模型进行求解

对基于客户订单满足率最大且总成本最小的原材料库存优化问题进行分析，在原材料价格随机波动的情况下，使得客户订单满足率尽可能大，在实际中可能发生两种情形：

情形一：如果最小原材料的供应满足率大于1时，即minfi＞1，其中，fi为第i种原材料的满足率，minfi为最小的原材料满足率。此时，客户满足率与成本成反比。

情形二：如果最小原材料的供应满足率小于1时，即minfi＜1，其中，fi为第i种原材料的满足率，minfi为最小的原材料满足率。此时，客户满足率与成本成反比。

算法基本思想如下：

第一，面向订单企业接到产成品订单D，根据产品构成计算出qi=ai·D,(i=1,2,…,n)，即求出构成产品A的n种原材料的需求量。面向订单企业针对订单，采购原材料。原材料供应商对原材料xi(i=1,2,…,n)，的供应量为si(i=1,2,…,n)，计算第i种原材料的订单满足率排序，并进行比较，找出 minf。i

第二，分下述两种情形

（1）当 minf＞1，计算

i

（2）当minfi＜1，计算

①若→0，则产品整体成本变化的趋势基本不变，则尽可能大的满足客户订货；若＞0，则此时产品整体成本变化的趋势是上涨的，由于未来价格上涨，企业必然会增加原材料的采购量，则令F=minfi。

②若＜0，表示产品整体成本变化的趋势是下跌，未来价格下跌，则企业相应减少对原材料的采购量，则计算，排序，并进行比较，找出 max，则

第三，按照f进行配套采购n种原材料。

第四，根据原材料采购数量等计算总成本TC，输出对应的Qi。

根据以上算法思想设计算法，首先求解最小原材料供应率小于1的情形下的算法。

2.2 设计算法CA

（1）算法CA的步骤

第1步：计算qi=ai·D,(i=1,2,…n)；

第3步：排序用冒泡法找出minfi；

第4步：若minfi＞1；

第6步：若→0，或＞0，令F=1；

第11步：输出。

（2）算法CA的时间复杂度分析

算法第1步需要计算n次；第2步需要计算n次；第3步需要比较n-1次；第5至7步需要进行n次循环；第8步需要计算n次；第9步需要比较n-1次；第10至11步需要进行次n次输出；所以该算法的复杂性为ο(n7)。由此得到以下定理。

定理1：购买价格波动的面向订单企业原材料库存优化问题算法CA的时间复杂度为ο(n7)，其中n为原材料种类数。

由于算法CA是一个近似算法，因此需要对算法的性能好坏进行分析，算法性能的好坏通常用算法的近似比来度量。

（3）算法CA的近似比分析

令OPT(I)表示实例I的最优解，A(I)表示应用算法CA对实例I的解。首先分析最优解并给出引理。

引理1：对于任一实例I，该问题最优解OPT(I)的下界为

即对于任一实例I，问题最优解OPT(I)的下界为，证毕。

应用算法CA对任一实例进行求解，算法得到的解：

根据以上分析，给出如下定理。

定理2：购买价格波动的面向订单企业原材料库存优化问题算法CA的近似比为：

近似比α与pi，maxF成正比，与minF，Qi成反比,如图1所示。

图1 近似比α与 pi、maxF、minF、Qi的关系

结合定理2进一步讨论近似比的变化范围并给出几个推论。

当K=0时，算法CA的近似比为：

当K=0时，即采购无固定订货成本时，则有：

因此算法CA的近似比为：

由此得到推论1如下。

推论1：基于客户库存成本最小的面向订单企业原材料库存优化问题算法CA的近似比上界为：

由于K≤max{k}，算法CA的近似比为：

当K=max{k}时，即采购成本最大，固定订货成本取最大值时，有：

因此算法CA的近似比为：

由此得到推论2如下：

推论2：基于客户库存成本最小的面向订单企业原材料库存优化问题算法CA的近似比下界为：

由于近似比α的取值取决于pi、maxF、minF、Qi，因此，若原材料满足率最大值与最小值相差不大以及价格波动不大时，即当α趋近于1时，算法CA下的解接近于最优解。

3 实例

本文以西安某公司为例，其产品液位测控仪表（按订单生产装配）生产物料清单如表1所示。其中：x1，x2，…，xn(i=1，2，…，n) 表 示 原 材 料 ；q1，q2，…，qn(i=1，2，…，n)表示原材料的需求量；a1，a2，…，an(i=1，2，…，n)表示单位产品原材料的需求量；s1，s2，…，sn(i=1，2，…，n)表示原材料的供应量；f1，f2，…，fn(i=1，2，…，n)表示原材料的订货满足率。公司接到客户对液位测控仪表的订单，其需求量为D=200，公司启动对液位测控仪表订单的原材料采购，且客户订单满满足率最大化，现需决策原材料的采购量Qi，使得企业库存总成本（固定订货成本200元+采购成本+缺货惩罚成本）最小。

已知客户订单的需求量为D=200件A产品，则种原材料的需求量qi，供应量si，以及原材料客户满足率fi，结果如表1所示。

表1 液位测控仪表的物料清单

运用算法CA对实例求解如下：

第一步，首先根据产品的物料清单计算客户订单所需求的各种原材料的需求量qi，再根据原材料供应量si以及计算各原材料的供应率f，通过以上计算得出i各个原材料的供应率然后按照大小排列记为f1,f2,f3,…fn，运用冒泡法求出minfi=0.8，如表2所示。

第二步，由于minfi=0.8＜0.1则计算，得到，此时令F=minfi=0.8。

第三步，以此类推，计算n种原材料各个原材料的需求量，根据客户满足率F=0.8进行配套采购。此时，按照客户满足率采购如下页表2所示。

第四步，计算企业总库存成本minTC=115228.8。

对该公司的原材料库存进行分析得出，在进行面向订单企业原材料库存优化决策过程中，如果原材料供应率发生变化导致原材料价格发生变化，那么应用基于客户订单满足率最大且总成本最小的原材料库存优化模型进行库存优化更为合适。此时，客户订单满足率较高，且企业库存成本较低，因此面向订单企业原材料库存得到了优化。

表2 客户满足率F=0.8时的采购数据

4 结束语

本文针对购买价格波动的面向订单企业原材料库存优化问题，以总成本（固定采购成本+采购成本+缺货惩罚成本）最小为及客户订单满足率最大的双目标，建立面向订单企业原材料采购模型模型，并设计近似算法求解。经过分析得出，在订货满足率最大值与最小值相差不大以及价格波动不大时，算法得到的解接近于最优解，最后结合实例验证模型和算法的有效性。