浅析初中数学中的最值问题

余春娥

摘 要：数学来源于生活，初中数学中的几何部分更是与生活紧密相连。如何将生活实际中的问题转化为纯数学问题，并使用所学知识进行解答，是数学教学的一个重要方面。几何最值问题是考试中的一个热点问题，所涉及到的情况有很多种，在课堂教学中要引导学生辨析情形、归纳总结、拓宽思路，同时注重巧用变换、构造模型、简化解答过程，从而达到事半功倍、举一反三的效果。

关键词：几何教学;最值问题;科学方法

几何最值问题通常为最短路线问题的引申，这类问题是考试中的一个热点问题，这类问题本身的特点为解答过程简单，但是思考过程却相对复杂，属于一种能力考查类的题目。这类题解答的关键在于“平面内连结两点的线中，线段最短”这一原则。通过对称的方式，有效构建不同点的共线，从而找出最短线路。

如何将实际中的问题转化为纯数学问题，并使用所学知识进行解答，这也是考试题目本身的意义。

几何最值问题涉及到的情况有很多种，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段;当所求的最小距离的两个点不在一个平面内时，就需要通过将曲面或者是折面进行铺平处理，将实际的曲面问题转换成为平面问题，这和数学中比较常用到的一种转换的思想比较相似，将一个不熟悉的问题转化成为我们所熟悉的问题，再进行求解。平面的最短距离问题的思路在于将两侧的点进行同侧的转化，一般通过对称投影的方式，连结一点与另一点的对称点，从而获得最短距离。因此，通过对称或者是投影的方式进行直线的构建，成为了这类题目解答的关键所在。

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的。例如，在地球（近似看成圆球）上任意的A、B二点之间的最短距离问题，应如何考虑呢？通常而言我们使用A、B两点及地球球心O的平面形成截面，其截面的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线。这种问题其实是一种实际的问题之一，但是此处不做研究，因此我们所建立的模型本身是一种数学化的模型，与实际情况相同，却又与实际情况存在差距，实际问题需要考虑的因素太多，此处不详加谈论。

解答最短线路的问题时，通过“对称”的方式将两点之间的问题进行轉换，使得两点在直线的两侧，依据两点之间线段最短的原理，从而有效找出最短路线.这种也是一种数学中常用的转化思想。

此外，函数的最值问题是一种典型的应用型题目，常出现在中考的试卷之中，一般为中高档类型的题目。这类问题本身贴近生活中与社会中的问题，可以有效体现出数学本身的人文价值与社会价值，同时有利于考生的分析能力、建模能力以及综合应用能力等全方位的考查。其中常见的函数又可以划分为一次函数与二次函数。对于这类问题的解答重点在于建立函数关系，进行函数分析，进而求得最值。

一、利用一次函数的性质来求最值问题

一般的一次函数而言，其自变量的取值为全体实数，那么就不存在最值，然而实际情况下考虑时，其自变量会有所约束，也就是数学中的取值范围限制，一次函数均为单调函数，那么在特定的自变量范围之内，就会出现最值。这类问题进行求解时，建立一次函数的同时，应注意将自变量的范围进行确定，利用函数单调性进行最值的求解。

例：房地产开发商，计划在某地建设A、B两种户型的住宅房80套，该开发商计划的投资额在2090万到2096万元，已知两种户型的建造成本如下表所示：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司如何建房获得利润最大？

（3）通过市场的信息反馈可知，B型住宅的售价维持不变，A型住宅房的售价将会提升a万元（a>0），假设A、B型住宅可以全部售出，问该开发商如何实现利润最大化？

注：利润=售价-成本

分析（1）设A型住宅的住房建有x套，那么B型住宅的住房就有（80-x）套，根据题意：开发商计划的投资额在2090万到2096万元，以此可建立不等式关系，通过不等式的解的范围，同时x为整数，那么就可以确定出x的值。

（2）根据一次函数的增减性解决。

（3）要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏，注意思维的缜密性。

说明：此题的第（1）问是利用一元一次不等式组解决的，第（2）、（3）问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意三问之间相互联系。

二、利用二次函数的性质求最值问题

二次函数的最值问题与一次函数的最值问题比较相似，首先进行实际问题的二次函数关系建立，如此便将实际问题抽象为二次函数的数学问题，再通过应用二次函数最值性质，得到最值，有效解决实际问题。

数学作为一门思维性极强的基础学科，在培养学生的创新思维方面有其得天独厚的条件，而几何最值问题的教学，又可充分激发学生的创造能力，尤其对学生思维变通性、创造性的训练提出了新的更多的可能性，所以，在最值问题的教学中，选用的问题既要有一定的难度，又要为大多数学生所接受，既要隐含“创新”因素，又要留有让学生可以从不同角度、不同层次充分施展他们聪明才智的余地，如：函数的最值问题，一定要给学生以足够的时间和空间进行充分的探索和交流。对此，学生可能有很多解决问题的方法，对学生提供的方法不要急于肯定或否定，应让学生通过实际操作和充分讨论，认识到不同的方法得到的结果可能不一样，进而组织学生深入讨论：从学生提供的这些方法中能得到什么样的结果？通过什么样的方法才能得到正确的结论？这样的讨论，其目的在于通过学习提高学生的发现问题、分析问题、解决问题和提出新问题的能力，在最值问题教学中，注重学生主动获取知识、重组应用，才能从综合的角度培养学生的创新思维。