修正Camassa-Holm方程的可积推广及其可积性质

洪建彬,吴红霞

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

修正的Camassa-Holm(modified Camassa-Holm,mCH)方程最初以一种新的可积系统被研究[1-3]。之后,文献[4-5]重新发现并推导出该方程。文献[1]把三哈密顿结构运用于mKdV方程的双哈密顿形式中，从而推出mCH方程。

众所周知，mCH方程在很多领域都有重要的应用。例如，在物理学上，该方程描述是在浅水波上单方向传播时的相互作用，其中u是自由液面高度，文献[6]从二维流体力学的表面波推导出该方程；在几何学上，该方程也来自一种内在的(弧线保留)流在欧几里得几何[7]不变的平面曲线。从此，mCH方程引起了人们的关注。研究表明，mCH方程与CH方程有很多相似的可积性质，该方程具有Lax对和达布变换[8]、爆破波和peakon[7]、Well-posedness[9]、双哈密顿结构[1]、无穷守恒律、孤子解[10]。然而，mCH方程与CH方程的可积性质[11]不同之处在于mCH方程具有高阶非线性，所以mCH方程具有包括爆破波和multi-peakon动态等新的特点。而且，无论mCH方程在有无界条件下，该方程都具有光滑的亮孤子解[12]。

作为孤子方程的可积推广，带源的孤子方程(soliton equations with self-consistent sources，SESCS)在很多领域如等离子体、固体物理和流体力学等均有广泛的应用。例如，带源KdV方程描述了长短毛细-重力波的相互作用[13]。2010年，文献[14]考察了带自相容源的Camassa-Holm方程(Camassa-Holm equation with self-consistent sources，CHESCS)在浅水中不同孤立波的相互作用，同时构造了CHESCS及其相应Lax对、无穷守恒律和互反变换，也给出了CHESCS的一些新解，例如soli-ton、negaton、positon和单peakon解。

已有学者对CHESCS进行了研究，但对mCHESCS研究过少。由于CH方程具有二次非线性，而mCH方程具有三次非线性，这必将使得mCHESCS的构造要比CHESCS的更复杂。本文主要研究mCH方程

(1)

的推广问题，这里u(x,t)是与空间变量x和时间变量t有关的函数。本文主要研究mCHESCS的构造和求解，同时，mCHESCS的Lax对、无穷守恒律和互反变换等一些可积性质也会相继给出。

1 带源mCH方程及其Lax对

1.1 带源mCH方程

众所周知，mCH方程(1)Lax对中的空间部分为

(2)

时间部分为

(3)

这里λ为谱参数。

利用式(2)和式(3)的相容性可推导出mCH方程(1)。以下为mCH方程的双哈密顿形式

(4)

对于n个不同的实数λj，考虑以下谱问题

(5)

(6)

其中φ1j和φ2j由式(5)确定。由式(6)可推导出mCHESCS

(7)

φ1jx=-φ1j/2+λjmφ2j/2,φ2jx=-λjmφ1j/2+φ2j/2,j=1,…,N。

(8)

在式(8)条件下，mCHESCS可以重写为

(9)

1.2 带源mCH方程的Lax对

下面推导出mCHESCS的Lax对。假设mCHESCS有如下的Lax对

(10)

(11)

(12)

有

λm(B3+C3)/[2(λ-λj)]+λm(B4+C4)/2+λ2m(B5+C5)/2}=0,

(13)

B3/(λ-λj)+B4+λB5],

(14)

(15)

(16)

(17)

-A4x+m(B0+C0)/2+mλj(B2+C2)/2=0,-A5x+m(B2+C2)/2+m(B4+C4)/2=0,

(18)

B5+C5=0,A5=0,

(19)

(20)

(21)

B4x+mA0+λjmA2+B4=0,mt=2(B5x+mA2+mA4+B5)=0,

(22)

(23)

(24)

C4x+mA0+λjmA2-C4=0,mt=-2(C5x+mA2+mA4-C5)=0。

(25)

(26)

(27)

2 带源mCH方程的无穷守恒律

基于mCHESCS的Lax形式，构造出带源mCH方程的无穷守恒律。令Γ=φ2/φ1，其中φ1和φ2是由方程(26)和(27)所确定。由式(26)知道Γ满足Riccati方程[15]

Γx=-λm(Γ)2/2+Γ-λm/2。

(28)

由方程(26)和(27)可得出

(lnφ1)x=-1/2+λmΓ/2, (lnφ1)t=V11+V12Γ,

(29)

其中，

(30)

注意到方程(29)的相容性条件，

θt=Fx,

(31)

其中，θ=mΓ,

(32)

其中，θ为守恒密度，F为伴随通量。以下通过两种正负不同的λ的阶展开Γ，从而得到守恒密度的显式表达式。

第一种以λ负阶形式展开Γ，

(33)

其中Γj,θj和Fj(j=0,1,2,…)是与x,t有关的函数。

将式(33)代入式(28)并比较λ的系数，得到

Γ0=I, I2=-1, Γ1=1/m,

(34)

以及与Γj有关的递推公式：

(35)

将式(33)～式(35)代入式(32)，分别得到方程(9)的守恒密度和伴随通量，

(36)

其中Γj由式(34)和式(35)所确定。

第二种Γ的展开是以λ的正阶展开

(37)

将式(37)代入式(28)并比较λ的系数，得到

(38)

将式(37)和式(38)代入式(32)，同样得到

θ2j=0,F2j=0,j≥0,

(39)

以及

(40)

其中Γ2j+1由以下递推公式所定义

(41)

3 带源的mCH方程的互反变换

方程(7)可重写为

(42)

方程(42)给出封闭的1-form

(43)

以下通过文献[8]的关系定义互反变换(x,t)→(y,s)

(44)

以及

(45)

进而mCHESCS(7)可转为以下新的形式

(46)

mφ1jy=-φ1j/2+λjmφ2j/2,mφ2jy=-λjmφ1j/2+φ2j/2,

(47)

且u与m有关，即

(48)

称式(46)、式(47)和式(48)的系统为相伴的mCHESCS(associated mCHESCS，AmCHESCS)。基于互反变换(45)，谱问题(26)的空间部分可转变为薛定谔中的谱问题

φ2yy=-λ2φ2/4+Uφ2,

(49)

以及

U=1/(4m2)-my/(2m2)。

(50)

同样，谱问题(27)的时间部分也可转为

(51)

且

V=-2(u+ux)=-2(u+muy)。

(52)

由式(49)和式(51)的相容性，可得出

(53)

不难发现，式(53)为负阶的KdVESCS(negative order KdVESCS，NKdVESCS)。

令ρ=φ2y/φ2。由方程(49)发现，ρ满足Riccati方程

ρy=-λ2/4+U-ρ2。

(54)

将式(50)代入式(54),得到

m=1/(2ρ)|λ=0=φ2(y,s,λ)/(2φ2y(y,s,λ))|λ=0。

(55)

注意到式(55)可用来求AmCHESCS的multi-soliton、multi-negaton和multi-positon解。

4 带源的mCH方程的解

4.1 带源的mCH方程的multi-soliton解

由文献[8]，注意到负阶的KdV方程的N-soliton已给出

(56)

其相应特征函数

φ=W(f1,f2,…,fN,eξj)/W(f1,f2,…,fN),

(57)

其中W是N个函数f1,f2,…,fN的朗斯基行列式。这里函数fj由以下

(58)

根据文献[16]和常数变易法，得到NKdVESCS(53)的N-soliton解

(59)

(60)

(61)

注意到φ1和φ2的渐近性质分别为

(62)

(63)

进一步，把式(63)代入式(48)中，得到以下mCHESCS的N-soliton解

(64)

其中α为任意常数且

(65)

特别地，当N=1，从方程(64)，得到如下mCHESCS的one-soliton解的参数形式

(66)

4.2 带源的mCH方程的multi-negaton解

αj(s)=yj(pj)

(67)

αN+j(s)=(pN+j-pj)ej(s)/pN+j+yj(pN+j),j=1,2,…,N,

(68)

其中：yj(k)是与k有关的渐近函数；ej(s)是与s有关的任意函数。

通过泰勒展开式和假设pN+j→pj,j=1,2,…,N,得到如下NKdVESCS(53)的N-negaton解

(69)

(70)

与mCHESCS的N-soliton解的做法相似，得到如下mCHESCS的N-negaton解

(71)

其中α是任意可积常数且

(72)

特别地，当N=1，从方程(71)，得到mCHESCS的one-negaton解

(73)

4.3 带源的mCH的multi-positon解

当N=0时，令V=-2k和U=1/(4k2)为NKdVESCS(53)的解，从方程(49)和式(51)，得到

φ2yy=(-λ2/4+1/(4k2))φ2,φ2s=-2kφ2/λ2。

(74)

注意到-λ2/4+1/(4k2)<0，得到如下(74)的解

fj=sinξj,

(75)

与N-negaton解的做法相似，如下得到NKdVESCS(53)的N-positon解

(76)

(77)

由式(77)知道如下φ1和φ2的渐近性质

(78)

其中I2=-1。类似地，得到

(79)

与N-negaton解的做法类似，得到如下mCHESCS的N-positons解

(80)

其中α是任意可积常数且

(81)

特别地，当N=1时，从方程(80)，得到如下mCHESCS的one-positon解

(82)

5 结语

本文推导出mCHESCS及其相应的Lax对。此外，构造出该方程的互反变换和无穷守恒律。基于达布变换和常数变异法，得到mCHESCS的N-soliton、N-negaton和N-positon解。众所周知，由于mCH方程存在peakon解，那么mCHESCS是否也有peakon解？这是一个令人感兴趣的问题，在以后的研究中，笔者将会做进一步的探讨。