浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同

摘 要：力法和位移法是结构力学中计算超静定结构的两种基本方法，这两种计算方法既有相同之处，又有不同之处，本文从二者的基本原理、基本未知量、基本体系及典型方程等方面对比分析力法与位移法在结构计算中的异同。

关键词：超静定结构；力法；位移法；异同

在实际工程计算中，大多数结构都是超静定的，结构力学计算通常包括两个部分：内力计算和位移计算，力法和位移法在结构力学中是计算超静定结构的两种基本方法，二者既有相同的地方也有许多不同之处。相同之处在于二者的分析依据相同，并且最终目的都是为了求解出结构的内力和支座反力；不同之处主要是在于两者的基本原理、基本未知量、基本体系和典型方程不同。

1 力法与位移法对比分析之同

1.1 分析依据

超静定结构计算中，力法和位移法是常用的两种计算方法。所谓的超静定结构即指具有多余约束的几何不变体系、基于静力平衡条件不能唯一确定内力和反力的结构。力法和位移法不仅考虑静力平衡条件，还考虑了变形协调条件及物理条件，从而对超静定结构进行求解。

1.2 目的

力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调的几何条件、应力与应变间本构关系的物理条件，根据各自的简单基本结构和关于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最终求解出实际工程中常见的超静定结构各截面的内力和支座反力。

力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调及物理关系三个方面的条件，使各自基本体系与原结构的受力、变形情况一致，从而应用基本体系建立相应的典型方程以达到分析原结构的目的。

2 力法与位移法对比分析之异

2.1 基本原理

结构在一定的荷载作用下，其内力与位移有一定的关系，简单来说，在分析超静定结构时，力法是先求出结构内力，然后计算其相应的位移；而位移法是先确定位移，再根据位移求出结构内力。

力法的基本原理是：通过撤除多余约束把多余未知力作为基本未知量，将分析超静定结构转化为分析相应的基本结构，然后根据多余约束处的变形协调条件（位移条件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通过静力平衡条件求出结构的全部内力。而位移法的基本思路是：以独立的结点位移作为基本未知量，通过静力平衡条件建立位移法方程，求出基本未知量后即可利用杆端位移与内力之间的关系（转角位移（荷载）方程），再求出结构的全部内力。

对于线弹性体系，只要基本体系与原结构变形一致，则受力自然相同；反之受力一致，则变形自然相同。力法是通过两者变形一致从而达到受力相同，位移法是通過两者受力一致从而达到变形相同。

2.2 基本未知量

力法与位移法的基本未知量不同。力法是以多余未知力为基本未知量，基本未知量的数目等于结构的超静定次数。其基本未知量可作以下三方面理解：①原结构中多余未知力为被动力形式，是固定量。②基本体系中多余未知力为主动力形式，是变量。③通过调节多余未知力的大小，可以使基本体系的变形与受力和原超静定结构完全相同。

而位移法是以独立的结点位移（结点角位移与独立结点线位移）为基本未知量，其基本未知量数目与超静定次数无关。一般来说，未知位移个数=未知转角的个数+节点线位移个数，而未知转角的个数=刚结点的个数，未知线位移的个数=相应铰结体系的自由度数目=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。

2.3 基本体系

力法和位移有各自的基本体系。力法是以解除超静定结构的多余约束得到的静定结构作为基本结构，在基本结构上加上原作用因素和多余未知力的共同作用，就组成力法基本体系（形式非唯一），通过基本体系与原结构变形一致建立力法方程求解多余未知力。

而位移法的基本结构是：在发生独立位移的结点上施加相应的附加约束，使原结构中每一根杆件都变成单跨超静定梁（基本结构单元），这样所得到的单跨超静定梁的组合体即为原结构的位移法基本结构，位移法基本结构在荷载和各独立结点位移共同作用下的体系称为位移法基本体系，其形式唯一。简言之，基本体系=基本结构+独立结点位移+原作用因素。

2.4 典型方程

力法：力法的基本方程是根据基本体系在多余约束处的位移与原结构一致的条件建立力法方程，其本质是几何方程。在线性变形体系中，根据叠加原理，n个变形条件通常可以写为：

δ11X1+δ12X2+…+δ1iXi+…+δ1nXn+Δ1p=0

δ21X2+δ22X2+…+δ2iXi+…+δ2nXn+Δ2p=0

……

δn1X1+δn2X2+…+δniXi+…+δnnXn+Δnp=0

方程中，系数δij和自由项Δip代表基本结构的位移。δii是基本结构由Xi=1产生的Xi方向上的位移，δik是基本结构由Xk=1产生的Xi方向上的位移，自由项Δip是基本结构由荷载产生的Xi方向上的位移。

位移法：位移法的基本方程是根据基本体系的附加约束上的约束力（矩）与原结构一致的条件建立位移法方程，其本质是静力平衡方程。对于具有n个基本未知量的问题，位移法的基本方程可写成如下形式：

K11Δ1+K12Δ2+…+ K1iΔi +…+K1nΔn+F1p=0

K21Δ1+K22Δ2+…+ K2iΔi +…+K2nΔn+F2p=0

……

Kn1Δ1+Kn2Δ2+…+ KniΔi +…+KnnΔn+Fnp=0

方程中，系数Kij是基本结构在Δj=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束反力（反力矩），是结构的刚度系数，与外部作用无关。当i=j时，即Kii称为主系数，恒为正；当i≠j时称为副系数，可为正值、负值或为零，并且Kij=Kji（反力互等定理）。Fip称为荷载项或自由项，是基本结构在荷载单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束法力（或反力矩）。刚度系数和自由项与假设的结点位移同向时为正。

建立基本方程时，两者考虑平衡条件与变形协调条件的先后次序不同。力法是根据基本体系在荷载和多余未知力共同作用下保持平衡，先满足平衡条件，然后又根据位移条件（变形协调条件）列出典型方程。位移法在确定基本未知量时，认为汇交于刚结点处的各杆端转角相同以及受弯杆件两端的间距不变，即先满足位移条件（变形协调条件），然后在建立位移法基本方程时再满足平衡条件。

结语：

力法与位移法是分析实际工程中常见的超静定结构的两种基本方法。力法与位移法既有相同之处又有区别。在解决实际问题时，应根据实际情况灵活应用，可以单独使用其中一种解决问题，必要时也可以两者混合使用。无论利用力法还是位移法，亦或两者混合使用，只要选择的基本未知量合理并且能够简洁地计算，就可以达到方便快捷的目的。

参考文献：

[1].樊友景、高洪波主编 结构力学（上册） 郑州大学出版社；

[2].单建、吕令毅编著 结构力学 东南大学出版社；

[3].于克萍、胡庆安编著 结构力学 西北工业大学出版社；

[4].郑有畛主编 结构力学 同济大学出版社；

作者简介：

赵浩楠（1997.07.18），男，汉族，河南省洛阳市，本科生，研究方向：城市地下空间工程专业.