数形结合思想在中职数学教学中的应用
2019-04-17郭凤艳
郭凤艳
摘 要:数形结合思想是中职数学思想中最常用也是最重要的思想之一,它是“数”与“形”的有机结合。本文首先简单介绍了数形结合的概念,然后通过举例阐述了数形结合思想在中职数学中的部分应用,最后说明了数形结合在教学中产生的作用。
关键词:数形结合思想;中职数学教学;应用
中国数学家华罗庚撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中提到:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形少数时难入微”[1]。“数形结合”一词便出现了,此后许多数学家应用该词。罗增儒从信息加工的目的性来诠释:“一种极富数学特点的信息转换,数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实,同时又用图形的性质来说明数的事实”[2];任樟辉从类比迁移的角度认为:“数(或式)形结合包括了数(式)或形结构本身的变式、变形间的迁移及相互间的整体或局部迁移”[3]。
“数形结合”思想是中职数学重要思想之一。数主要指数量关系,形主要研究物体的形状,数形结合即为两者的一一对应。“数形结合”思想在中职数学中应用广泛,它能够将抽象的问题具体化,简单化,从而有效解决问题。
一、数形结合思想在中职数学中的应用
(一)解决集合问题
集合是中职数学中相对简单的部分,其中集合的交、并、补运算是必考内容,当集合的元素以不等式形式呈现时,为了更加直观,可以借助数轴解决集合的交、并、补问题。
例1:已知集合A={x-1 解:A∩B={x-1 (二)解决函数奇偶性问题 函数是中职数学中最重要也是最抽象的内容,学生不容易理解。如果将抽象的函数用直观图像表示出来时,问题就变得简单,通俗易懂了。比如在判断函数的奇偶性时,如果用定义法,由于中职阶段学生数学基础及计算能力相对薄弱,部分学生理解不好,如果函数图像容易画出,那么借助图像的对称性判断,学生能够轻松掌握。 (三)解决比较数的大小问题 某些数在比较大小时,可转化为对应函数的函数值,利用图像的直观性进行比较,这样更简便更容易被学生理解。例如: 例2 判断0.32,log20.3,20.3这三个数的大小。 分析:将这三个数看成三个函数:y1=x2,y2=log2x,y3=2x在x=0.3时的函数值。通过图像可观察当x=0.3时,所对应的三个函数值的大小,从而得出结论:20.3>0.32>log20.3 (四)数形结合思想研究方程解的问题 例3 设二次方程2x2+(a-2)x+a+5=0有两个相异实根,若一个根大于2,另一个小于0,求实数a的取值范围。 分析:二次方程的实根问题可以通过其对应的二次函數的图像与x轴交点个数来处理。 解:设 f(x)=2x2+(a-2)x+a+5根据题意,数形结合得 所以a的取值范围 a∈(-∞,-5) (五)解决数列问题 数列可以看作自变量n的取值为正整数的函数,某些数列问题可以借助函数图像进行解决。 (六)解决三角形问题 在实际生活中,经常需要计算长度、高度、距离和角度的大小,这些问题大部分都与三角形有关,而解决这类问题都会用到三角公式。 (七)解决一元二次不等式问题 一元二次不等式的求解是重点内容,但对于中职生来说也是个难点,要突破这个难点必须借助函数图像。通过一元二次不等式对应的一元二次函数图像的开口方向及与x轴的交点个数来判断不等式解的情况。 (八)解决三角函数问题 在电工、工程技术和物理学中,会遇到正弦型函数的问题,它与正弦函数有着密切的联系。 例4 已知函数 f(x)=1-2sin2x+sin2x false,求它的最大值,以及此x的取值集合。 分析:要研究这个函数,首先要把它转化成正弦型函数的形式,然后再进行求解. 解: f(x)=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=,由图像可知:最大值为.当=+(k为整数)时,f(x)有最大值,从而可解得x的集合。 二、数形结合思想在数学教学中的作用 (一)有助于学生理解数学概念 数学概念是学生认知的基础,然而大部分概念通常比较抽象,给人一种模糊、枯燥、逻辑混乱的感觉。数形结合可以帮助学生理清思路,形成完整的数学概念。 (二)数形结合可以作为问题解决的一种手段 数形结合虽然不是问题的解法,但可以作为一种解题的手段,帮助寻求思路,找到突破口。 数形结合思想是重要的数学思想,在整个中职数学乃至整个数学领域都有举足轻重的作用。同学们应逐步建立这种思想,这样不但能提高解题能力,还能强化形象思维和抽象思维的结合,提高思维的灵活性和创造性。 参考文献 [1] 华罗庚.谈谈与蜂房结构有关的数学问题[M].北京:北京出版社,1979:37.