数学思想方法在初中问题解决中的渗透

2019-04-17吴小敏

赢未来 2019年11期

吴小敏

摘要：结合平时的教学，介绍数学思想方法在具体题型中的应用。

关键词：数学思想方法、教学、应用

在初中数学教学中，教师不仅要注重基本的概念、公式、定理等的教学，知识与技能水平，还应重视数学思想方法的渗透，以达到有效培养学生数学思维能力，提高学生综合数学素质的目的。“所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。”

下面结合平时的教学，介绍数形结合、方程与函数、分类讨论、化归与转化四种重要的数学思想方法在具体题型中的应用。

一、数形结合思想.在初中数学教学中，数形结合思想主要体现在两方面：一是以形助数，即用几何图形的直观性来阐明数之间的联

系;二是以数助形，用数之间的联系来阐明几何图形的某些属性，从而巧妙快速的解决问题。

例1： X2+9=A，求得最小值是多少？

分析：由X2+9=X2=32，PQ2=OP2-OQ2，（12-x）2+36=（12-x）2+62的形式，联想到两点间的距离公式。由x2+9=A，（12-x）2+36=B（12-x）2+36=B是勾股定理形式，联想到构造直角三角形，并利用线段最短等数学知识解题。

二、方程与函数思想。在初中数学中，把一系列字母或待求的量通过列等式方程，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想。而函数思想是在解决数学问题的过程中把各个量之间的联系用函数关系表示出来。

例2：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）.

（1）当AE=8时，求EF的长;

（2）设AE=x，矩形EFPQ的面积为y.

①求y与x的函数关系式;

②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∵矩形，∴EF∥BC，

（2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，∴0

∵矩形，∴EF∥BC，∠CFE=90°，∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

三、分类讨论思想。分类讨论思想就是根据事物具有的共性和差异性的特点，进行分别归类。

例3：如图，在锐角△ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.

分析：根据点的变化，找出临界状态，进行分类。

解：分两种情况：

①如图，当正方形DEFG在△ABC的内部时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积.

∵DE=x，

∴y=x2，此时x的范围是0

②如图3，当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点T，△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC

∴4.8

∴△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为

当0

当4.8