威布尔帕累托(Ⅳ)分布：性质及应用

宋晓琳

摘 要 利用T-X变换技巧将威布尔分布及帕累托（Ⅳ）分布组合，构建了威布尔帕累托（Ⅳ）分布并研究极限，单峰性，香农熵，力矩等相关统计性质;利用R语言对两组经典数据进行分布拟合;给出几种模型的参数估计及拟合优度的比较，并根据似然比检验，对威布尔帕累托（Ⅳ）分布和其他几种分布做对比分析，结果表明威布尔帕累托（Ⅳ）分布具有更优的拟合效果.

关键词 威布尔分布; 帕累托（Ⅳ）分布; T-X分布; EM算法

中图分类号 O212 文献标识码 A

Abstract We used  T-X transform techniques to combine the two distributions， built  the Weibull-Pareto （Ⅳ） distribution and studied  the related statistical properties， including the limit， unimodal， shannon entropy and moment etc. Two groups of classic data distribution were fitting by using the R language.The comparison of parameter estimation and fit optimization of several models were given.And according to the likelihood ratio test for Weibull-Pareto （Ⅳ） distribution and several other distribution analysis of the contrast，the results show that Weibull-Pareto（Ⅳ） distribution has a better fitting effect.

Key words Weibull distribution; Pareto（Ⅳ） distribution; T-X family of distributions;EM algorithm

1 引 言

威布尔分布有单调的失效率，常用来模拟生命周期数据.帕累托分布及其推广提供了非常灵活的厚尾分布族，可以用来模拟收入分配、金融、保险等相关领域的数据.威布尔分布广泛应用于各种类型的数据建模，尤其在生存分析和可靠性分析中得到了广泛的关注.然而，它无法刻画具有非单调失效率函数的数据集，因此统计文献对威布尔分布进行了各种形式的推广[1-2].经典的帕累托分布是一类具有幂律概率尾的统计模型，常被用来模拟具有高度正倾斜和右厚尾数据[3].但是，帕累托分布的密度函数是单调递减的，因而无法处理具有驼峰形状的数据集.在各种类型的帕累托模型中，帕累托（Ⅳ）更值得关注，它是由Cronin[4]最早提出的.值得注意的是，大多数关于帕累托（Ⅳ）分布的分布理论都可以通过使用KOTZ等[5]提出的布尔分布获得，也可以参考Harris[6]的早期文献.帕累托（IV）模型的一个显著特征是，它包含了帕累托密度族的最大参数.

最近，统计学家和应用研究人员对构建灵活的分布族非常感兴趣，以便更好地对实践中数据进行建模.Alzaatreh等[7]提出了一种生成连续分布族的新方法，并提供了几种使用该技术构建的广义族的例子.Kong等[8]提出贝塔-伽玛分布，并考察了它的性质，如分布的可靠性、失效函數和应用.Akinsete等[9]研究了一个四参数的贝塔帕累托分布，该分布具有单峰和单调递减的风险率，讨论了其均值、均值偏差、方差、偏度、峰度和熵的表达式.Alzaatreh等[10]构造了威布尔帕累托分布，给出了威布尔帕累托分布的各种性质.Alzaatreh等[11]提出了伽玛帕累托（IV）分布并研究了该分布的各种性质和分布特征.

参考文献

[1] KHAN M S， KING R . Transmuted modified weibull distribution： a generalization of the modified weibull probability distribution[J]. European Journal of Pure and Apllied Mathematics.2013， 6（1）： 66-88.

[2] IBRAHIM B， ABDUL M.Transmuted burr type III distribution[J]. Journal of Statistics： Advances in Theory and Applications.2015， 14 （1）：37-47.

[3] KLUGMAN S A， PANJER  H H，WILLMOT G E. Loss models from data to decisions[M].New York： John Wiley & Sons， Inc，1998.

[4] CRONIN D C. Function for size distribution of incomes： a further comment[J]. Econometrica， 1979， 47（3）： 773-774.

[5] KOTZ S，BALAKRISHNAN N，JOHNSON N L.Continuous multivariate distributions.[M]. New York： John Wiley & Sons， Inc，2000.