“夹逼法”在函数极限计算中的实践探析

李雨薇

【摘要】 函数极限是高等数学的重要内容，有效计算方法的习得，是实现函数极限计算的重要基础.本文立足夹逼准则的认识，阐述了夹逼法在函数极限计算中的常规应用，就如何合理缩放，构建准则“条件”，做了具体阐述，以强化夹逼法在函数极限计算中的应用.

【关键词】 函数极限;夹逼法;计算;实践应用

函数极限计算是高等数学学习中的重要内容，也是难点所在.在实际学习中，强调计算技巧的有效掌握，提高函数极限计算的准确性、简便性.夹逼准则是高等数学中运用于函数极限计算的重要定理，对很多极限的计算，夹逼准则可以起到事半功倍的效果.“化繁为简”“一步到位”的计算效果，往往成为学生极限计算的重要策略.但如何巧用、妙用，是夹逼准则应用的关键所在.本文立足对夹逼准则的研究，就如何有效应用，做了如下具体阐述.

一、夹逼准则及应用

定理  如果函数列{xn}，{yn}，{zn}满足以下条件：

（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3，…）;

（2） lim n→∞ yn=lim n→∞ zn=a.

那么，函数列{xn}存在极限，且为 lim n→∞ xn=a.

对夹逼法准则，现通过两个例子进行探讨说明.

例1   求 lim n→∞ n  1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ  .

分析  该题看上去比较复杂，若采用常规的方法，显然是无法计算求得极限.这时候，需要转变思考方向，运用夹逼法看是否可以求得.对n  1 n2+nπ  进行缩放，看是否可以出现定理中的两大条件.很显然，对通项可以进行缩放，构建条件（1），这为夹逼法的应用，创设了条件，要进一步要求动手实践，尝试性求算.

解  因为

n n+π ≤lim n→∞ n  1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ  ≤ n2 n2+π ，

而 lim n→∞  n n+π =1，lim n→∞  n2 n2+π =1.

因此，运用夹逼法，lim n→∞ n  1 n2+π + 1 n2+2π + 1 n2+3π +…+ 1 n2+nπ  =1.

从上述例子可以看出，在运用夹逼法求函数极限问题时，可以通过夹逼准则的有效应用，实现快速地极限求算.对通项为无限项乘积或和的函数数列，可以通过合理的缩放，构建夹逼准则的两大条件，适用夹逼法，获得较好的计算效果.

二、夹逼法求解含有乘方或阶乘形式的函数的极限

在对常规函数的极限求算中，夹逼法的应用技巧比较单一，在于如何一目了然的缩放.但是，在含有乘方或阶乘形式的函数的极限求算中，题型相对更加复杂，乘方函数的自变量n或包含在幂指数、根指数或者对数中，且有两处出现该自变量，更加强调夹逼方法应用的灵活性.（1+p）n的二次项展开：

（1+p）n=1+np+ n（n+1） 2 p2+…+pn.

在该类函数极限的计算中，可以对其进行适当的缩放，让看似繁复的极限计算，从n或x中进行有效解脱，运用夹逼法有效计算其极限.这样的计算思维，能够获得更好的计算效果.对很大一部分学生而言，含有乘方或阶乘形式的函数的极限求算，十分考验能力.但关键还是需要灵活转变，从知识的综合应用中，求得函数极限.

例2   证明 lim n→∞  an nk =+∞（a>1，k∈ N ）.

这道极限证明题，解题方法有多种，但夹逼法的应用比较通俗明了，对提高证明效率有较好的作用.我们知道，对该题，我们只需要证明 lim n→∞  nk an =0（a>1，k∈ N ），将思考方向进行转换，为夹逼方法的应用创造条件，也为缩放提供空间.

解  a=1+p（p>0），

則an=（1+p）n=1+np+…+ n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因此，an> n（n-1）…（n-k） （k+1）！ pk+1，

因而，有

0≤ nk an < nk（k+1）！ n（n-1）（n-2）…（n-k）pk+1 < （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·  n n-k  k· 1 n .

此时，我们需要注意， （k+1）！ pk+1 是常数，并且还有 lim n→∞  1 n =0，lim n→∞   n n-k  k=1.因而，可以得出 lim n→∞  （k+1）！ pk+1 = （k+1）！ pk+1 ·   n n-k  k· 1 n =0.

在此基础之上，运用夹逼方法，可以得：

求 lim n→∞  nk an =0，也就是 lim n→∞  an nk =+∞.

整个的证明过程十分平顺，看似十分复杂的证明，在夹逼法的应用中，实现了有效缓解，且成功证明的关键在于：（1）转换思维方向，将 lim n→∞  an nk =+∞转换为 lim n→∞  nk an =0的证明，为夹逼法的应用，创设了前提条件;（2）善于抓住含有乘方或阶乘形式的函数特点，通过合理的变式、转换，逐渐向目标极限值出发，实现有效极限计算.

总而言之，夹逼法是高等数学学习中的重要准则，广泛适用于函数极限的求算.在对函数极限求算中，要善于抓住“题目”特点，通过准则条件的构建，为夹逼法的应用创设条件，对快速求算极限，起到重要作用.在本文的探讨中得出，科学有效的缩放，是夹逼法应用的关键，要求把握缩放空间，在夹逼准则的条件之下，求得函数极限.因此，夹逼法具有化繁为简的良好效果，让极限求算从繁杂的函数项中解脱出来，通过简单函数的极限求算，获得复杂函数极限值.

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