线面积分的类比教学法

熊菊霞 黄勇 靳庆庚 曲良东

摘要：高等数学是大学理工科专业的一门必修学位课。线面积分（曲线积分与曲面积分）是高等数学中下册中的一个重难点。很多同学在学习曲线积分和曲面积分时感到很茫然，无从下手。为了能让学生更好地掌握曲线积分与曲面积分，快速、准确地计算曲线积分与曲面积分，本文用类比法来讲解曲线积分与曲面积分，并结合Matlab 2018a软件来演示两类积分的区别。

关键词：高等数学;曲线积分;曲面积分;类比

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）10-0178-03

高等数学是大学理工科专业的一门必修学位课。该课程是其他专业课的基础，也是我们分析问题、解决问题的必备工具。学习这门课可以培养学生的抽象能力及思维严谨性。然而很多学生在学习高数时感到十分茫然，畏惧数学，尤其是学到高等数学下册第十一章的线面积分（曲线积分与曲面积分）时更感到无从下手。这种现象产生的原因主要在于学生不能正确把握曲线积分和曲面积分之间的区别与联系。为了能让学生更好地掌握曲线积分与曲面积分，快速、准确地计算曲线积分与曲面积分，教师有必要对曲线积分和曲面积分的教学方法进行总结、类比，用最通俗的语言讲解问题的本质。只有这样，学生才能活学活用。高等数学的教学质量才可以得到提升。本文用类比法来讲解曲线积分与曲面积分，并结合Matlab2018a软件以更加直观的形式给学生演示两类积分的特点。

一、曲线积分与曲面积分的区别与联系

曲线积分与曲面积分是高等数学下册中最重要的一章内容。这两个定义都有着不同的物理含义。曲线积分分为第一型曲线积分和第二型曲线积分。曲面积分同样也分为第一型曲面积分、第二型曲面积分。两种类型的积分都可以相互转化。

1.曲线积分的特点。第一型曲线积分是求整个曲线形构件的质量。被积函数是线密度函数。密度是一个标量，不存在方向。第二型曲线积分是求变力沿曲线做功问题。力是矢量，存在方向，所以在计算积分时要考虑被积函数和积分微元的关系，即它们之间的夹角。这个夹角是用该点处的切线和“力”的方向来衡量的。

2.曲面积分的特点。第一型曲面积分是求面质量。被积函数是面密度函数。面密度是一个标量，无方向性。第二型曲面积分是求曲面流量问题。类似的，在曲面上每一点的“速度”是被积函数在这一点处的矢量值，与面积分微元做积分运算时需要考虑两者的关系：面积分微元的法向量与该矢量之间的夹角。

二、曲线积分与曲面积分的计算

无论是曲线积分还是曲面积分的计算，最终都转化为一元函数定积分的计算。因此定积分的计算是曲线积分和曲面积分计算的基础。

1.两种积分的计算步骤：（1）将曲线或者曲面方程代入被积函数，消去某个或者替换某个变量。（2）将曲线或者曲面投影到坐标轴或者坐标平面上，确定积分区域。（3）第二型积分具有方向性，积分取正号还是负号，由曲线方向和坐标轴正向的夹角确定，或者由曲面的法方向与坐标平面的正法方向的夹角确定。（4）封闭曲线或封闭曲面的积分由格林公式、高斯公式、斯托克公式进行边界和区域积分的相互转化。

2.两种积分的计算要点：（1）曲线积分和曲面积分的积分对象都是函数。函数如果在曲线或者曲面上，则将曲线或者曲面方程代入到被积函数中。消去哪个变元由曲线或者曲面在谁上的投影决定。（2）在完成曲线和曲面方程代入步驟后，根据题意选择合适的投影方式将曲线积分和曲面积分变成普通积分。投影选取规则为：曲线积分选择曲线在坐标轴上的投影，曲面积分选择曲面在坐标平面上的投影。如果投影区域有重叠，则将曲线和曲面分隔成若干部分后再分别积分。（3）第二型曲线和曲面积分（即对坐标的曲线和曲面积分）做投影时，如何选择方向显得很关键。

方向选取规则：

曲线：曲线做投影时，则考虑曲线的方向和轴正向之间的夹角，情况如下：夹角为锐角，方向角的余弦取正号;夹角为钝角，方向角的余弦取负号;夹角为90°，方向角的余弦为0。积分的上下限的确定和定积分一样，即：小在下，大在上。

曲面：曲面投影到平面上，则考虑曲面的法方向和平面的正法方向之间的夹角，情况如下：夹角为锐角，方向角的余弦取正号;夹角为钝角，方向角的余弦取负号;夹角为直角，方向角的余弦则为0。

不管是曲面积分还是曲线积分，首先将曲线或曲面方程代入被积函数，其次把曲线或曲面投影到坐标轴或者坐标平面上，然后确定积分区域，最后积分的正负号由夹角的情况来确定。

三、Matlab软件实例演示

Matlab是全世界目前公认的三大主流数值计算软件。Matlab具有强大的绘图和计算能力。通过列举四个不同类型的积分，用Matlab2018a软件编程，将具体计算的过程分步演示给学生看，可以让复杂的计算过程变得更直观，加深学生对知识要点的理解，提升对高等数学的学习兴趣，开阔学生的学习视野，提升教师的理论教学效果，让生硬的课堂气氛变得更加活跃。

四、结论

众所周知，数学问题来源于实际生活。学习高等数学的目的就是为了更好地解决实际问题。在曲线积分和曲面积分类比教学中，为了让学生能准确把握线面积分的区别与联系，教师在讲授高等数学重难点时应积极借助科学计算软件，真正做到活学活用，学以致用。

参考文献：

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The Analogy Method of Teaching Surface Integration and Curvilinear Integration

XIONG Ju-xia，HUANG Yong，JIN Qing-geng，QU Liang-dong

（Guangxi Key Lab of Hybrid Computation and IC Design Analysis，Guangxi University for Nationalities，Nanning，Guangxi 530006，China）

Abstract：Higher mathematics is a compulsory degree course in university science and engineering.Curvilinear integration and surface integration are one of the most difficult problems in the lower secondary mathematics.Many students feel very at a loss when learning curve integrals and surface integrals.In order to allow students to better grasp the curve integrals and surface integrals，to quickly and accurately calculate the curve integrals and surface integrals，this paper uses the analogy method to explain the curve integrals and surface integrals，and uses Matlab 2018a software to demonstrate the differences between the two types of integrals.

Key words：advanced mathematics;curve integral;surface integral;analogy