“鸡兔同笼”

宋春丽

鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，记载于《孙子算经》之中。从中国的鸡兔同笼中日本演化出龟鹤算。许多实际问题都可以转化成这类问题，例如大小船、投篮问题、答题问题等。但是，万变不离其宗，解题思路和方法相同或相似。对于四年级学生来说，鸡兔同笼问题是一个教学难点，因为要经过假设—推理—计算—解答—验证这样的过程。前人已经总结出来很多解决“鸡兔同笼”的方法，假设法、列表法、抬脚法、方程法、公式法等。在我的教学中，我既想渗透数学思想，让学生体会数学的乐趣，又想化繁为简，以小见大。我在备课时，就将所有的解题思路和方法进行了尝试和研究，并从这四个步骤展开了我的教学。

一、《鸡兔同笼》教法“一步走”——列表法

运用列出表格分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。在小学数学中，学生解决实际问题时，时常运用列表法，对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使用列表法，表达简洁，不易出错，还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演。列表法的局限就在于适用于较小数量求解，并且大多跟寻找规律或显示规律有关。但是，列表法是小学阶段解决问题的重要方法，学生经历从“杂乱列举—有序列举—列表呈现”的过程，在头脑中形成强烈对比，充分感受列表法有序、清晰、简洁的特点，经历解决问题的过程，体会渗透在列表法中的统计思想。

例：鸡兔同笼，上有8头，下有22只脚，问鸡、兔各几只？

【列表法】

鸡 0 1 2 3 4

兔 8 7 6 5

脚 16 18 20 22

二、《鸡兔同笼》教法“二步走”——画图法

《数学课程标准》中明确提出：“让学生通过学习获得适应未来社会生活、进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数形结合就是数与形的一一对应，它作为一种重要的思想方法，将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系相结合，最终以直观、形象、简便的方式展现在学生面前。在解决鸡兔同笼问题时，我将数形结合方式简化，将复杂的解题过程简化，用幽默的语言激发学生的兴趣，学生在画图中就解决了实际问题。

例：鸡兔同笼，上有8头，下有22只脚，问鸡、兔各几只？

【画图法】

1.先画8头。

2.每头2只脚。

3.每头再添2只脚，达到22只脚。

三、《鸡兔同笼》教法“三步走”——假设法

画图法与列表法虽然能解决鸡兔同笼问题，并能在教学中渗透数学思想，但是，当遇到较大数量时，这两种方法并非最优方法。所以我在教学第三步就从画图法中归结出假设法，这也是解决鸡兔同笼的基本方法。假设法适用于大部分鸡兔同笼问题。假设法可以假设全都是鸡或者全都是兔，但是，由于兔子脚数比鸡多，所以建议同学们假设数量少的，计算方便。

例：鸡兔同笼，上有10头，下有28只脚，问鸡、兔各几只？

【假设法】

1.假设都是鸡，有多少只脚：10×2=20（只）

2.还差多少只：28—20=8（只）

3.剩下的脚再添加，每只动物加几只脚：4—2=2（只）

4.能加几只就是几只兔子：8÷2=4（只）

5.剩下的就是鸡：10—4=6（只）

6.验证：6×2+4×4=28（只）

列表、画图和假设都可以解决问题，如果数量较小时，这三种方法都可以，但是，在遇到数量较大时，逐一列表和画图就显得繁琐，所以，假设法更适合于解决多种题型。

四、“鸡兔同笼”教法“四步走”——“抢答题”

例：答对一题加10分，答错一题扣6分。1号选手共抢答8题，最后得64分。她答对几道，答错几道？

这是为了巩固假设法而设计的变式性题目，训练学生综合分析信息的能力，也就是要正确分析和理解“答對一题加10分，答错一题扣6分”这一条件。答对与答错之间的差反而是这两个分数的和。这是鸡兔同笼问题中的教学难点，可以通过抽象推理、举例子、数形结合等方式让学生理解差距为什么是两数之和。解题方法如下：

1.假设全都答对得分为：10×8=80（分）

2.与实际分数差距为：80—64=16（分）

3.错一道题与对一道题的差距为：10+6=16（分）

4.16分是错了几道题：16÷16=1（道）

5.剩下的就是正确的题目：8—1=7（道）

6.验证：7×10—6×1=64（分）

数学是一门科学，是哲学、游戏、工具、是人脑活动……貌似复杂的数学学习过程都被大量计算、解决问题所充斥。我认为，一节数学课不仅要让学生懂得一个知识点，还要获得一种思想，积累学习经验。在我们的数学课上，应将数学知识点与数学思想相结合，做到神形兼备。通过列表、画图、假设这种由浅入深的教学方法，让学生在轻松、愉快地解决了鸡兔同笼的问题，并获得数形结合、一一对应、假设、列表等数学思想方法。当然，应鼓励学生探索更多的解决方法，让学生在数学中体验快乐与成功。