由一道习题的讲评感悟高中数学运算核心素养的培养

浙江省富阳中学(311400) 钱丽谈

数学运算是高中数学六大核心素养之一,是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.[1]

数学运算核心素养的提升与其它核心素养的提升是一脉相承的,在分析运算对象的时候,常常要用到数学建模,在选择运算规则的时候也必然会用到逻辑推理,运算的过程本身就是一个数据分析的过程,在猜测运算方向与判断运算结果的时候,直观想象也会发挥重要的作用.可以说,数学运算是其他所有数学核心素养的集中呈现过程.[2]近几年,浙江高考数学命题也越来越注重对高中数学核心素养的考察,因此如何提升学生的数学运算核心素养显得尤为重要,下面笔者将通过一道习题的讲评谈谈如何提升学生的数学运算核心素养.

一、课堂实录

例已知直线l∶(2+m)x+(1-m)y-5-m=0(m∈ℝ).

(1)证明：对任意的实数m,直线l都过一定点P,求出点P的坐标；

(2)若直线l分别交x轴和y轴于点M、N,当|PM|·|PN|最小时,求直线l的方程.

学生的解答情况：

第(1)问由m(x-y-1)+(2x+y-5)=0,令解得所以直线l过定点P(2,1).

师：为什么没有往下解?

生(异口同声)：太繁了!

师：为什么会繁?找找源头!

生1：直线方程本身就比较复杂.

师：那能不能把直线方程的形式写得简洁一点?

生2：由第(1)问,直线恒过定点P(2,1),所以直线方程可设为y-1=k(x-2).

师：这样设直线方程有没有局限性?

生3：因为根据题意,直线与x轴和y轴都有交点,所以直线的斜率一定存在.

师生共同解答：

解法2 由题意,直线l的斜率一定存在,直线方程可设为y-1=k(x-2),则MN(0,1-2k),所以当且仅当即k=±1时等号成立.此时,直线l的方程为x-y-1=0或x+y-3=0.

师点评：把直线方程点斜式,明显在运算上简化了许多.直线方程有很多种形式,在解题时要会选择恰当的直线方程进行计算.那么按照同学们的第一种解答方式,到底能不能解出来呢?我们也一起来算算吧.

师：解法1|PM|·|PN|=这个复杂的式子先怎么处理比较好?

师：仔细观察式子的结构特点,你有什么发现?

生5：第2个根号里面提取 4,|PM|·|PN|=根号里两个分式刚好互为倒数,可设则那么与解法2一样简洁了.

|PM|·|PN|=4,当且仅当t=±1时等号成立.当t=1时,解得直线l的方程为x+y-3=0；当t=-1时,无解.

师：解法2为什么比解法1多了一个答案?哪个才是正确解答呢?我们退回到解题过程的开始,解法1的直线方程形式m(x-y-1)+(2x+y-5)=0有什么特点?

生6：表示过两直线x-y-1=0和x+y-3=0交点P(2,1),但不包括直线x-y-1=0的直线系方程.

师：解法2的直线方程形式y-1=k(x-2),有什么特点?

生7：表示所有经过定点P(2,1)的直线方程.

师：那么结果应该是一条直线还是两条直线?

生8：因为题目给的条件中的直线方程是以直线系方程的形式给出的,本身就不包括直线x-y-1=0,所以结果只有一条直线方程x+y-3=0.也就是用解法2解题时,直线方程应设为y-1=k(x-2)(k/=1),这样才与已知条件是等价的.

二、数学运算核心素养的培养策略

(一)揭示概念本质,明晰运算对象

把握数学概念的本质是学生发展运算能力的重要前提,很多学生在考试和解题中遇到思维的障碍,究其本质是因为没有正确理解、掌握有关的数学概念而造成的.比如本题的运算对象是直线：m(x-y-1)+(2x+y-5)=0,这个符号的内涵是表示过两直线x-y-1=0和x+y-3=0交点P(2,1),但不包括直线x-y-1=0的直线系方程.学生只有对直线系方程的本质理解了,才会一开始就将直线x-y-1=0排除在外,不会出现两个解的结果.

近几年浙江高考屡次出现这样一类题型：若对运算对象理解不清晰,想当然地进行运算很难得到结果,但是一旦明晰了题目中的运算对象就可以“秒杀”题目.如2016年理科第8题：

已知实数a,b,c,( )

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,

则a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,

则a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,

则a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

则a2+b2+c2＜100

本题若盲目地进行绝对值不等式的运算,很难找到运算方向与结果,但是一旦明晰了本题运算对象的几何本质是研究圆、直线、双曲线、抛物线的封闭性,问题就迎刃而解了,因为只有圆是封闭图形,所以答案为D.

所以,要想提高运算水平,在平时教学中不能只限于形式化的表达,一定要努力揭示数学概念的本质,使学生透彻理解概念中所表现出的数量化、符号化的内涵.

(二)关注题型变式,掌握运算法则

公式法则是运算的基础,只有熟练掌握公式法则的结构特点、适用范围以及公式的正用逆用,才能保证运算的正确性.例如本题第(2)问的解答,就有个别同学错用数量积的公式,将求|PM|·|PN|的最小值等价于求数量积的最小值,从而导致解答错误.事实上数量积的公式为根据题意,画图可知本题与反向,所以

为使学生正确理解运算法则的内涵和外延,在平时的教学中应关注题型变式,让学生在对变式的辨析过程中熟练运算法则.例如对利用正弦定理进行“角化边”和“边化角”的教学中,可以进行这样的变式练习：

例在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcosC+ccosB=2b,求的值.

变式在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcosC+ccosB=2,c=1,B=2A,求b的值.

通过对这样一个简单变式的辨析,学生就会清楚地明白当等式左右两边齐次时,角的正弦值与相应边之间可以直接替换,因为正弦定理中的2R可以两边约分,但是若等式左右两边非齐次,则2R不能约分,角的正弦值与相应边之间就不能直接替换,而是要用a=2RsinA,进行转换,否则就会计算出错.

(三)重视一题多解,优选运算方法

数学概念具有二重性,既表现为一种过程操作,又表现为对象、结构.数学概念的这种二重性决定了概念认知、理解的二重性,数学思维的二重性.[3]因此很多数学问题往往具有多种解法,本题一开始学生直接计算遇到了困难,马上转换思路换一种直线方程的形式：y-1=k(x-2)(k/=1),计算起来就简洁了许多,问题也自然顺利解决了.

为了使学生在用一种算法解题遇到困难时,立即就能想到回到题目开始思考有没有更简洁的算法,需要教师在平时多多采用一题多解,让学生充分分析条件和结论,联系相关知识处理问题,开阔运算求解的视野.同时,在多种解法的比较运算中,学会综合分析各种算法的优劣,确定最优运算方向,选择最优运算方法.

(四)合理分解难度,设计运算程序

面对复杂的计算,要引导学生聚焦难点,重新设计运算程序,如本题的解法1：第一步写出|PM|·|PN|的表达式：第二步计算函数f(m)的最小值,思路很简单顺畅,但是要计算函数f(m)的最小值,这个计算就难了,这时通过引导学生思考：计算的障碍点在哪里?怎样简化计算?联想到运用整体换元的技巧：令分解了难点,再重新设计运算程序,利用基本不等式很容易求得函数f(m)的最小值.

在高考中也经常会遇到这样一类思路简洁但是计算繁杂的题目,这种时候若能静下心来分解计算难点就显得尤为重要了.例如2017年浙江高考第15题：已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是_____.考后在与学生的交流中,很多同学反映此题用三角换元的方法解答：设a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),则但 是 由 于 式 子过于复杂而放弃了.实际上,若我们能合理设计计算顺序,逐个击破绝对值就可化解计算难点：同理,|a-b|=然后再一起对|a+b|+|a-b|两边平方,得(|a+b|+|a-b|)2=所以|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是

因此,在平时的教学中要不断引导学生通过整体换元、式子变形、等价转换、数形结合等技巧合理设计运算程序,分解计算难点.当然,面对繁琐的计算,还需要学生具备坚持不懈、计算到底的意志品质.

(五)强化元认知,调控运算结果

要想确保运算的准确无误,还需要学生能对自己运算过程的正确性和运算结果的合理性进行判断,即教师在教学过程中要强化学生的元认知监控.对于本题的解法2,若学生在解题过程中能思考：换一种直线方程的设法y-1=k(x-2)与题目所给的直线方程(2+m)x+(1-m)y-5-m=0(m∈ℝ)等价吗?计算结果有两条直线方程x-y-1=0或x+y-3=0是不是都满足条件?会不会有要舍掉的直线?这样整个计算过程就会更加严谨准确.

数学运算能力是学生必备的一项基本技能,需要教师在平时的教学中加强概念本质的教学,使学生正确理解运算对象；在变式训练中让学生熟练掌握运算法则；在一题多解的过程中促进学生学会选择合适的运算方向,优化算法；抓住一切机会教会学生运算技巧,学会合理设计运算程序；并引导学生通过元认知监控,不断调整运算过程和运算结果；最终引领学生逐步提升数学运算核心素养.