数形结合思想在小学数学中的渗透与应用

孙淑兰

【摘 要】小学数学担负着培养小学生数学素养的任务，法国著名的哲学家、物理学家、数学家，同时也是解析几何之父勒内·笛卡尔说过：“数学是知识的工具，亦是其他知识工具的源泉。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。”由此可见，数学是学习知识技能的基础，数学对人的思维培养和高效解决问题具有重大意义。数学思想有很多，数形结合思想就是数学思想中的一项重要内容。数形结合思想，包括两点内容，一是以形思数，在直观中理解“数”，可以利用“数”引导学生通过想象建立一个清晰的图式表象，充分发挥图式表象的作用，从而使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”，数与形密不可分，相互转化，相辅相成。在课堂教学中给学生渗透数学结合的思想，能够让学生感觉到数学不再是门枯燥的学科，也能让学生从中认识到数学存在的价值，从而通过学习数学学习到处理事情要具有条理性的思维方式，为学生今后的健康成长和智力发展打下基础。

【关键词】数形结合思想；小学数学；应用

美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体把握了问题，并且能创造性思索问题的解法。”由此可见，培养学生数形结合的思想在数学教育中非常重要。小学低年级学生虽然思维能力有限，但处于智力发展的最佳时期，他们仅能直观地思考问题，所以，教师培养学生利用数形结合的方式去思考和看待问题，能够有效调动学生学习数学的积极性，对其他方面的学习也能够创造动力，还能够帮助学生尽快完善数理逻辑。数学新课程标准中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应该获得适合未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思维方法和必要的应用技能。”在数学教学中渗透给学生数学思想，比传授给学生更多的数学知识更重要。数形结合思想是数学思想中的一部分，没有数形结合思想，数学知识点就像一盘散沙，没有了支撑的媒介，学习数学就会吃力，而且也无法在学习中找到数学的乐趣。掌握科学的数学教学方法，对提升学生的思维品质，对数学这一学科更深入的学习和理解其他科的学习，以及对学生终身发展都具有重要意义。

1.数形结合对小学生学习数学的意义

1.1数形结合的概念

数与形是数学中两个最古老也是最基本的研究对象，它们在一定条件下，可以相互转化。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精確性来阐明形的某些属性，二是借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，从直观上观察不出什么规律，这时候就需要给图形（边长、角度等）赋值。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。数形结合主要应用于集合问题、函数问题、方程与不等式、三角函数、线性规划、数列问题、解析几何、立体几何、绝对值问题及分数应用中。其中以“数”化“形”应用于平面几何知识与立体几何知识中；以“形”变“数”主要是将已学过的知识正确用到图形中，用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等；“形”“数”互变一般是要是看“形”思“数”、见“数”想“形”，其实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

1.2小学生学习数学的意义

拿破仑是19世纪著名的军事家、政治家，更是法兰西第一帝国的缔造者，他青年的时候特别喜欢数学，尤其对几何学十分着迷，后来成为军事统帅，打了很多次胜仗。特别是在“奥斯特里茨战役”中以少胜多，打败了落奥尔联军，成为18世纪时期令人最敬佩的一件事。有不少著名人物在著作和现实中都赞扬了拿破仑的军事头脑。实际上，拿破仑能拥有这样的智慧是因为他的“数学头脑”，他运用数学中的“关系映射反演”原理，较为精准地估计了双方军队的布阵形势和敌方的进军时间与路线，制定了正确的进军计划，从而在战争中取得了胜利。拿破仑的故事告诉我们，学习数学的人在能够用科学的思维方法和做事规律去处理问题和解决问题，甚至能够解决一些重大事件。因此，学习数学对人的一生有重大作用，尤其是在小学阶段，更要着重培养学生的数学思维。通过学习数学中的点、线、面能够让学生对图形有一个大体的概念，能够培养学生从不同角度观察现实中具体事物的能力，逐渐学习还能提高学生的审美力。同时，数学也是现代文化的重要组成部分，对人的可持续发展有重要意义。从小学阶段培养良好的数学素养，对人的辩证思维能力发展和正确看待事物角度的能力有重要意义，还能培养人的高尚审美情趣，使之形成良好的非智力品质结构。

1.3数形结合对小学生学习数学的作用

数形结合在小学数学教育中有着积极作用。教师可通过数形结合的数学思维引导小学生正确对待数学，从而对数学学习充满动力。

数学知识与现实生活有着密切的联系，教师要尽量用学生熟悉的生活情境或生活经验引出教学内容，这样能够方便学生联想地思考问题，能够进一步加快学生的解题速度。教师还可以通小组合作模式，让不同水平的学生，在小组学习中互补。在小学数学的学习过程中，学生课堂是的主体，教师要始终树立“一切以学生为主”的教学思想，给学生提供最需要的知识。因此，小学数学教师要积极为学生营造一个民主、平等、自由、和谐的学习环境，让他们能够在数学学习中开拓思维、自由发挥想象力，这对向学生传授数形结合知识也大有益处。

小学生的思维往往是直观的，抽象思维存在欠缺，所以，数学老师要让学生学好数形结合知识，从而发展小学生的智力、增强学生观察事物的能力，促进学生的全面发展，培养学生的独立性和创造性。

2.数形结合在小学教学中的渗透

数形结合思想能够改变数学课程呆板、枯燥无味的教学模式。向小学生渗透数形结合思想能够让小学生得到数学的熏陶，从而愿意学习数学。

在小学五年级“圆”这一章中，在对“求阴影部分的面积”这类题的讲解中，如果教师利用各种公式进行讲解，学生会因过程死板而产生厌学情绪，无法集中注意力。所以，教师应在黑板上画出图，再结合公式进行讲解，这样便于学生对题的理解，能够很大程度地提高解题效率。在小学六年级“分数的乘法”的教学中，由于分数不是整数，所以低年级学生理解起来较为困难，教师可利用折纸和画图的方式，为小学生直观地展示运算过程、本质变化及结果的产生，让学生“知其然更知其所以然”。使学生直观地观察图示比死板的讲解知识原理和枯燥的训练要好很多。而且这种方法能使善于理性思考的学生更快地理解知识点，不善于理想思考的学生也不会出现不理解知识点的情况，数形结合能针对不同层次的学生进行教育。由此可见，对学生渗透数形结合思想不仅能够辅助学生解题，对小学生的思维培养也有很大的积极意义。

3.数形结合思想在教学中的应用

数形结合思想的实质就是通过数形之间的相互转化，将抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从直观的角度发现数量之间的内在联系。在小学教学中，教师要运用合理的教学方法，向学生传达最清晰的数量关系。

在教学中调动学生的学习积极性是老师的必要教学方式，也是让学生爱学习的重要手段。在数形结合中，教师要创造与知识点相关的情景，从而调动学生的学习热情。比如，在五年级“轴对称图形”这节课的教学中，老师可利用多媒体播放设备，先为学生播放有关中国工商银行、中国农业银行和中国银行的短片，然后再将中国工商银行、中国农业银行和中国银行的标志图案给学生一一列举，让学生观察其特点，然后引出轴对称图形的知识点，讲解后再让学生积极探讨生活中其他的轴对称图形。再如，四年级上册“角的认识”这一节中，教师可利用教室的某一角落，像窗角、黑板的角，引出“角的认识”，让学生能够直观地理解“角”，给学生提供直观的图形概念，能够使学生更好地理解文字的表达。

数形结合解题就是把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对圖形的观察和分析，进一步转化成算式，以达到问题解决的目的。教师在教学过程中可以对题目进行适当的标记，用来提示学生的解题思路，比如，教学在一年级上册“20以内不进位加法和不退位减法”时，以“草地上有白色的兔子十只，黑色的兔子比白色的兔子多三只，请问黑色的兔子有多少只？”一题为例，教师可在题目中用横线或波浪线画出关键词，让学生能够清晰地看出题目的核心内容，能够减少无效文字的诱惑。教师还可以画图为学生进行解析，用一定距离的线段代表十只白色兔子，再画一条比白色兔子那条更长的线段代表黑色兔子，通过这种主观的图示，能够让学生清晰地观察出两者之间的关系，从而进一步加快解题速度。或使用“画圆圈”的方法解题，小学生的思维很单一，所以“多”和“少”这类问题，很容易让他们对“加”和“减”混淆，不能明确知道什么时候用加法，什么时候用减法，这时就可以通过数形结合的思想，利用画圆圈的方式引导学生解题，把“多”看成“大”，所以画一个大圈，另一个画一个小圈，即可立即看出谁多谁少，从而促进解题。但是男生和女生之间的思维方式存在较大差异，女生的理性思维较差，现在这种情况，教师可以总结出一类题型的公式，比如在谁比谁多多少或少多少，然后求出其中一个量的问题上，教师可以用白兔与黑兔这道题为例，总结出：白兔只数+多的只数=黑兔只数。再通过这个公式演变出更多样的公式，为不善于理性思考的学生，提供便利，使他们不至于产生“数学难”的心理压力。

结束语

总之，在小学数学教学中，数形结合思想贯穿了整个数学教学阶段，它抓住了数量关系与空间形式之间的联系，通过“形”来直观地表达数，通过“数”为学生提供形象材料，将抽象的数量关系具体化，将无形的解题思路形象化，让学生能够更好地学习数学和认识数学，从而高效地学好数学知识。但数学思想方法的教学并不是一个单一的过程，需要各种思想方法的相互联系、相互渗透，数学思想方法教学往往是多种数学思想与数学方法的混合。著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”即“数缺形时少直观，形少数时难入微”。复杂的数量关系让人难以理解，但将数量关系与空间形式相结合，就会使问题简单化，使抽象的问题具体化，能够得到快速解决问题，对数学思维的培养有一定作用，在小学教育中渗透数形结合思想能够帮助学生进一步认识数学，还能够帮助学生理解算式，同时，在解决问题的过程中还能提高学生的思维能力，对小学生今后的数学思维培养和智力发展都有积极作用。

【参考文献】

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