坐标变换在建筑限界测量中的应用

赵梦，范宇，杨赫，丁道祥，崔高峰

（中国铁路沈阳局集团有限公司科学技术研究所，沈阳110013）

1 引言

铁路沿线建筑限界是直接影响行车安全的基础数据，是保证铁路运输安全的基本要素。随着高铁车站的建设、既有站场改造工程的实施，客运车站高站台的普及，原有线路上的测量方式不仅存在操作难、误差大等问题，且线路上检测限界容易造成人身安全隐患继而影响行车安全。若能开发一项检测技术既能实现在轨道线路外侧测量铁路建筑限界又能满足铁路标准TB/T 3308—2013《铁路建筑实际限界测量和数据格式》中对测量中数据的各项要求，则可以实现在安全距离内测量铁路建筑限界的方法，从而达到在不影响列车正常运行的情况下对站台、雨棚等建筑进行测量的目的。

2 应用理论与可行性研究

数学中为考虑同一图形在不同坐标系下的关系，出现了坐标变换的问题。根据铁路标准TB/T 3308—2013《铁路建筑实际限界测量和数据格式》中对测量的量及输出标准有详细的规定，故可将该实际问题看作同一点在不同坐标系中的坐标问题，又因其为静态测量，故仅考虑平面直角坐标系中的坐标变换。直角坐标变换可以分解成移轴和转轴2个步骤。具体如下。

如果 2 个标架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原点O与O′不同，O′在（O，i，j）中的坐标为（x0，y0），但 2 个标架的坐标基向量相同，即有i′=i，j′=j，那么标架（O′，i′，j′）可以看成是由标架（O，i，j）将原点平移到O′点而得来的（见图1），这种坐标变换叫做移轴。

若 2 个标架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原点相同，即O=O′，但坐标基向量不同，且有∠（i，i′）=α，则标架（O′，i′，j′）可以看成是由标架（O，i，j）绕O点旋转 α 角而得来的（见图 2），这种由标架（O，i，j）到标架（O′，i′，j′）的坐标变换叫做转轴。

图1 移轴详图

图2 转轴详图

图 1 中，设P是平面内任意一点，它对标架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐标分别为（x，y）与（x′，y′），则有

图 2 中，设P是平面内任意一点，它对（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐标分别为（x，y）与（x′，y′），即有

式中，α为坐标轴的旋转角。

式（2）也可看成是由标架（O′，i′，j′）绕圆点旋转 α 角变到（O，i，j）的转轴公式。

在一般情况下，由旧坐标系xOy变成新坐标系x′O′y′，总可以分2步完成。即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O′重合，变成坐标系x″O′y″，然后再由辅助坐标系x″O′y″转轴而成新坐标系x′O′y′（见图3）。

图3 坐标转换

设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为（x，y）与（x′，y′），而在辅助坐标系x″O′y″中的坐标为（x″，y″），那么由式（1）与式（2）分别得：

3 实际问题的解决

测量环境如图4，将设备置于坐标系xOy中坐标原点O点位置，测量限界时设备输出数据分为2种情况：

输出数据为待测物体某点距离原点O的两点距离r和该两点所在直线与x轴角度α；坐标系x″O′y″左侧钢轨测量点距离原点O的两点距离a所在直线与x轴角度β；

输出数据为待测物体某点在坐标系xOy的坐标值（x，y）；坐标系x″O′y″左侧钢轨测量点在坐标系xOy的坐标值（x1，y1）；

根据铁路标准TB/T 3308—2013《铁路建筑实际限界测量和数据格式》要求，若根据已知数据得出上述描述中某点在坐标系x″O′y″中的坐标值（x′，y′）即为所求。

通过以上理论测量钢轨数据确定坐标系x″O′y″中坐标原点O′坐标系xOy的数据，从而确定2个坐标系的变换数据。在推导得出公式为：

式（4）为第1种情况计算公式，式（5）为第2种情况计算公式。理论上坐标存在正负值，而实际检测中以设备返回数据符号为准调整符号。

图4 现场测量环境简图

在该测量技术的应用中，设备仪器的精度，测量人员的操作习惯，计算方式及步骤产生的误差等均影响测量精度，若欲达到标准中要求的精度需在设备选型与模型建立上进行研究改进。