基于凸轮设计理论的多关节机械手轨迹规划

朱建强，田 方

(沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳 110870)

0 引言

在对机械手进行运动控制时，在一般低速运动情况下，只要保证关节角度不超限即可，这对运动轨迹规划影响很小。但是，当机械手运动速度较快时，关节角加速度和角速度极易超出约束范围，影响控制精度和损坏硬件。因此，在机械手轨迹规划时需要考虑约束条件，SARAVANAN 等[1]使用NURBS曲线规划机器人运动轨迹，通过优化运动时间使得轨迹能够满足多种约束条件。同样，用3次多项式规划策略插关节轨迹[2-3]和基于3次样条曲线的时间最优轨迹规划方法[4-5]只能保证速度、加速度连续，而不能保证脉动连续，也无法处理脉动约束问题。WANG等[6]提出一种基于一种简化运动规划的新方法满足运动约束。还有XU等[7-8]通过优化B样条曲线的参数，获得满足关节约束的运动轨迹。在运动时间是确定的情况下，无法通过优化时间来解决约束问题时。本文对关节运动加速度进行优化，结合对凸轮从动件运动轨迹设计的研究，提出一种改进梯形加速度曲线函数。该方法适用于工作任务为点到点，且起始点和终止点速度、加速度都为零的工业机械手进行轨迹规划。以3R机械手为载体仿真，该方法成功的改善了关节最大加速度过大问题，使机械手运行轨迹平稳，产生协调的机械手运动。

1 凸轮设计理论分析

在凸轮设计的基本规律中要求凸轮函数必须在整个间隔(360°)内通过位移的一阶、二阶导数连续。这和多关节机械手轨迹规划有着相同的要求，在关节空间中进行轨迹规划是将关节变量q利用不同的函数曲线表示时间的函数，同时规划各关节的一阶、二阶导数，有必要时还需要规划它的三阶导数(即冲击)。在凸轮设计中，为保证函数二阶导数曲线平滑且连续，从加速度函数着手，谐波系列函数的优势使之能应用到凸轮设计中。图1显示了一个加速度函数的全周期正弦曲线。它满足了末端幅值为零的约束。正弦波的方程为：

(1)

通过将自变量θ除以间隔β的时段并且使用弧度测量θ和β。θ/β的值在0～1范围内。乘以2π得到一个完整周期的正弦波，无论β的值如何，正弦函数的参数都将在0和2π之间变化。常数C定义正弦波的幅。对加速度积分获得速度。

(2)

图1 正弦加速度函数

这里k1是常数。为了约束在停驻点时速度为0，代入边界条件v=0 在θ=0 。得出k1为：

(3)

在时间间隔β的另一端替换边界值，v=0，θ=β，k1得到同样的结果。再对速度积分得出位移：

(4)

为了约束在停驻点时位移为零，代入边界条件s=0 在θ=0 ，得到k2。凸轮从动件在间隔β内所需上升最大值为h并且对于任何一个凸轮规格而言都是常数，代入边界条件s=h,θ=β，得出C,k2=0。

(5)

代入C，得到加速度函数为：

(6)

代入C和k1，得到速度函数为：

(7)

代入C、k1和k2，得到位移函数为：

(8)

谐波系列函数很好的满足了凸轮设计的要求，但具有较大的加速度以及速度。在具有运动约束的情况下，较小的运动加速度容易超出约束范围，而较大的加速度不利于机器人运动的平稳性和轨迹跟踪精度。理想的轨迹规划方法应当是在满足约束的前提下，尽量采用较小的加速度。通过依次对角加速度约束、角速度约束和角度约束进行分析和处理，结合凸轮设计理念提出新的轨迹函数来实现轨迹规划，下面给出具体步骤。

2 改进梯形加速度函数

选择合适的角加速度曲线类型对处理约束问题至关重要，最能够发挥机器人关节运动性能的角加速度曲线。为了减少因为加速度过大而引起的轨迹误差，关节最大加速度应该减小并保持连续。如果使给定问题的加速函数幅值的峰值最小化，那么最能满足这个约束条件的函数就是如图2所示的方波，称为恒定加速度函数。方波具有给定区间内给定区域内最小峰值的特性。由于它有很强的不连续性，因此，用来作为轨迹加速函数是不可行的。

图2 常数加速度函数图

方波的不连续性可以通过简单地将方波函数“直角”去除，使函数变得连续，并创建如图3所示的梯形加速函数。必须通过增加高于原始方波的峰值来替代去除的区域，以保持恒定时间所需满足位移的要求。该函数峰值幅度的增加很小，并且理论上最大加速度显着小于正弦加速度(摆线位移)函数理论上的峰值。但该梯形函数的一个缺点是它有非常不连续的冲击函数，如图3所示。这样不连续的冲击函数会导致机械手剧烈的震动，影响精度和损害硬件。

图3 梯形加速度函数图

图4 改进梯形加速度函数图

正弦加速度具有相对较平滑的余弦冲击函数曲线，在间隔内只有两个不连续点，并且优于梯形加速度方波。如图4所示，对梯形加速度函数进行改进，称为改进梯形加速度曲线。该函数是正弦加速度和恒定加速度曲线的结合。把全周期正弦波切割成4份，并且组合到方波中，使得从端点处的零到最大和最小峰值的平滑过渡，并且使得曲线连续。用于函数的正弦部分的总段周期(β)的部分可以变化。本文是在β/8,3β/8,5β/87,β/8处切割方波以插入正弦波，如图4所示。

基于以上凸轮设计理论的研究并且满足运动约束条件的情况下，该方法可应用于工业区自动化生产线上的机器人，如搬运机器人、检测机器人、装配机器人、点焊机器人等。这些工作任务是点在关节空间的机械手轨迹规划中，起点和终点的关节角速度和角加速度为零，工作任务要求与凸轮设计的凸轮从动件运动轨迹要求相同，在多关节机械手轨迹规划中，结合正弦加速度函数以及机械手工作任务要求得出改进加速度函数。在机械手关节空间内，凸轮轨迹函数中上升的最大高度变化h即是最大关节角度变化θmax、角度间隔β即是时间间隔T、时间变量即为(t-t0)。

2.1 角加速度函数分析

(9)

2.2 角速度函数分析

当角加速度满足要求之后，考虑角速度的约束。较小的关节角速度，减小了机械系统的动能，特别是对大质量的物体。根据边界约束条件，在初始t0时刻和终止时刻tf，角速度约束为0，根据式(7)、式(9)可得：

(10)

2.3 角度函数分析

当角加速度和角速度都满足要求之后，考虑角度的约束。根据边界约束条件求得的方程，所以与传统5次多项式插值方法一样，满足关节角度的约束。在初始t0时刻关节角度为θ0，终止时刻tf关节角度为θf，根据式(8)、式(10)可得：

(11)

由以上步骤最终得到的加速度是同时满足角加速度约束、角速度约束和角度约束的最小加速度。

3 工作任务

以3R多关节机械手为载体，合理的设置机械手工作任务点A(550，0，-550)和B(800，0，0)并在MATLAB Robotics Toolbox中仿真出A点和B点的末端执行器位置[9]，如图5所示，通过逆运动学方程解出对应点关节的角度变量，如表1所示。

图5 机械手工作任务点

表1 关节空间任务点

4 仿真

传统轨迹规划采用5次多项式过渡连续曲线函数[10]，其2阶导数也是连续的，可以使运动轨迹、运动速度和加速度都连续平滑。这有利于高速运动，同时减少急速运动所加剧机构的磨损和减少机器人操作臂的共振。同样满足加速度轨迹的连续性且工作任务要求(起始点和终止点的角速度，角加速度为零)与本文所提出的轨迹规划方法进行仿真比较。采用3R多关节机械手为载体，通过仿真对本文所提出的轨迹规划方法进行说明，为了更能说明文中所提轨迹规划方法的效果，同时采用5次多项式规划进行比较，由于篇幅有限，只展示关节2仿真结果，如图6所示。图6显示了关于关节2的角度、角速度和角加速度与时间曲线的关系。表2分别列出了这两种方法的每个关节轨迹的最大加速度比较。可以看出，本文提出的方法的两个关节的最大加速度均小于5阶多项式插值方法的关节轨迹最大加速度。以第2关节为例，如图6所示，该方法产生的最大加速度值为52.9653°/s2，而5次多项式插值方法对应的最大加速度值为62.5587°/s2，约为前者的1.18倍。该方法用改进梯形函数特性不仅满足了任务要求条件，且减小了最大加速度峰值。这两种方法都可以实现相同的工作任务，即初始位置和目标位置之间的点对点轨迹规划，但所提出的方法会产生更小的关节加速度轨迹。因此，本文方提出的轨迹规划方法更加可行和有效。

图6 关节2角度，角速度，角加速度图

表2 各关节最大加速度比较图

5 结论

本文采用改进梯形加速度轨迹函数方法，得出以下结论：

(1) 本文提出的轨迹规划方法与传统的5阶多项式插值轨迹规划方法相比，既保证了多关节机械手轨迹运动时角速度和角加速度光滑连续，且减少了关节最大加速度，提高了机械手关节运动轨迹的光滑性和精确度。

(2) 改进梯形加速度函数曲线，保证了起始点和终止点的角速度与角加速度为零，且关节加速度曲线在起始点终止点处连续变化，消除了机械抖动。

(3) 关节空间轨迹规划存在一个共同的缺点，就是不利于处理避障问题，这是有待进一步研究的地方。