履带式设备接地比压的分析

焦宏章

(中国煤炭科工集团太原研究院有限公司，太原 030006)

履带行走机构被广泛应用于矿山机械和工程机械。主要由导向轮、涨紧装置、支重轮、拖链轮、驱动装置、履带和履带架组成。具有承载大，爬坡能力强，地面适应性好等诸多突出特点。其中履带接地比压是设备的重要参数之一，目前在矿山机械仅标称平均接地比压，即机重与履带接地面积的比值，由于计算过程中没有考虑重心的影响，因此平均接地比压不能反映地基的真实受压情况，设备实际工作过程中的真实接地比压比平均比压大很多，甚至数倍于平均比压，因此履带行走机构设计过程中平均接地比压会留有足够的安全系数，防止地面被压溃，引发事故[1-2]。即使对接地比压限制较高的工程起重设备，目前检索到的关于接地比压的计算文献，也是在各种简化的基础上的进行计算，与真实接地比压误差较大[3-7]。针对这一问题，本文建立了履带式设备工作过程的等效模型，假设履带接地面积内比压呈平面分布，推导了各种工况下最大接地比压的计算公式。

1 建立履带式设备的等效模型

履带式设备工作过程中的受力模型如图1所示，由重力G0和执行机构受到的反作用力(FX,FY,FZ,MX,MY,MZ)组成，重心位于(X0,Y0,Z0)，反作用力作用点位于(X1,Y1,Z1)为了便于分析，将此受力模型等效为设备只受重力G，重心位置为(X,Y,Z).建立图1所示坐标系，坐标原点取在接地比压最大点处，Y向取履带行走方向，X向取设备宽度方向。

根据等效前后Z向支反力不变，可列

G=G0+FZ

(1)

根据等效前后X向倾覆力矩不变，可列

G×Y=G0×Y0+FY×Z1+FZ×Y1+MX

(2)

根据等效前后Y向倾覆力矩不变，可列

G×X=G0×X0+FX×Z1+FZ×X1+MY

(3)

联合式(1)～(3)可求得等效后的设备模型参数：G，X，Y.

图1 履带式设备工作过程中的受力模型
Fig.1 Force model in the working process of caterpillar equipment

2 履带接地比压计算

根据上节计算得出的G，X，Y.可进一步计算履带接地比压。现有文献只有重心在X向对称面上接地比压的计算方法，本文根据重心是否在行走部的对称面上，分三种工况进行分析，涵盖重心在任意位置下的最大接地比压计算方法。

2.1 重心在行走部X向对称面上

若重心在行走部X向对称面上，建立图2所示坐标系，使重心坐标X=(B+b)/2，同时Y≤L/2，假设履带接地比压呈平面分布，则可列式(4)所示比压在接地范围内的分布方程：

图2 履带接地比压分布图-X
Fig.2 The distribution of ground pressure-X

图2中：L——履带接地长度，l——履带接地比压分布平面与Y轴交点坐标，b——履带板宽度，B——履带中心距，Pmax——履带最大接地比压。

(4)

根据Z向受力平衡，可列式：

(5)

根据X向力矩平衡，可列式

(6)

联合式(5)和式(6)可得：

(7)

l=3Y

(8)

式(5)和式(6)的积分区间为(0，l)，适合履带接地比压分布平面与Y轴交点坐标l≤L的工况，根据式(8)要求Y≤L/3.若L/3L，需要将式(5)和式(6)的积分上限更改为(0，L)，进一步计算后可得：

(9)

综上，若Y≤L/3，根据式(7)计算最大接地比压；若L/3

设备工作过程中一般要求履带接地面积内任意点处的比压0，即等效后的设备重心L/3

2.2 重心在行走部Y向对称面上

若重心在行走部Y向对称面上，建立图3所示坐标系，使重心坐标Y=L/2，同时X≤(B+b)/2，假设履带接地比压呈平面分布，则可列式(10)所示比压在接地范围内的分布方程：

(10)

图3 履带接地比压分布图-Y
Fig.3 The distribution of ground pressure-Y

图3中：L——履带接地长度，m——履带接地比压分布平面与X轴交点坐标，b——履带板宽度，B——履带中心距，Pmax——履带最大接地比压。

根据Z向受力平衡，可列式：

(11)

根据Y向力矩平衡，可列式

(12)

联合式(11)和式(12)可得：

(13)

(14)

由于计算前不知道履带接地比压平面与X轴交点位置，因此式(11)和(12)中的左半侧履带的积分区间初定为(B,B+b)，然后求解得出最大接地比压Pmax和履带接地比压平面与X轴交点坐标m，若m

图4 含有负值接地比压的分布图-Y
Fig.4 The distribution of contain negative ground pressure-Y

根据履带接地比压分布平面与X轴交点坐标，分三个区间进行讨论：

(1)m≥B+b

若m≥B+b，代入式(14)可得：

说明履带在接地面积范围内最小接地比压大于0，则最大接地比压按式(13)计算。

(2)B

若B

说明左侧履带有一部分接地面积的接地比压等于0，计算过程中左侧履带的X向积分区间为(B,m)，将式(11)和式(12)修改后重新积分计算求的Pmax.所有式子全部用符号替代，解析式非常庞大，由于篇幅限制文中暂且省略，应用数学软件MATLAB照文章所述列示可以非常容易地计算出最大接地比压Pmax.

(3)b

若b

说明履带严重偏载，左侧履带的接地比压全部等于0，将式(11)和式(12)中的左侧删除后重新积分计算求的Pmax.

设备工作过程中一般要求履带接地面积内任意点处的接地比压大于0，即

2.3 重心偏离行走部对称面

若重心偏离行走部对称面，建立图5所示坐标系，使重心坐标X≤(B+b)/2，同时Y≤L/2，假设履带接地比压呈平面分布，则可列式(15)所示比压在接地范围内的分布方程：

(15)

图5 履带接地比压分布图
Fig.5 The distribution of ground pressure

图5中：L——履带接地长度，l——履带接地比压分布平面与Y轴交点坐标，b——-履带板宽度，k——履带接地比压分布平面与XY平面交线的斜率，B——履带中心距，Pmax——履带最大接地比压。

根据Z向受力平衡，可列式：

(16)

根据X向力矩平衡，可列式：

(17)

根据Y向力矩平衡，可列式：

(18)

联合式(16)～(18)求解可得：

(19)

(20)

(21)

由于计算前不知道比压平面与XY平面交线位置，因此式(16)～(18)的Y向积分区间初定为(0,L)，求解得出最大接地比压Pmax，以及比压平面与Y轴交点坐标l，比压平面与XY平面交线的斜率k，代入式(15)得出比压平面方程P(x,y).

若计算得出的履带接地比压分布平面与XY平面交线切入履带接地面积，按(16)-(18)式计算会导致部分接地面积的比压是负值(图6所示)，一旦出现这样的情况，履带的实际接地比压会重新分布，因此需要对式(19)-(21)的计算结果进行进一步讨论。

图6 含有负值接地比压的分布图
Fig.6 The distribution of ground pressure containing negative values

根据左侧履带比压最小点(B+b，L)和右侧履带比压最小点(b，L)两点的比压值，分三个组合进行讨论：

P(B+b,L)≥0

若P(B+b,L)≥0，说明比压平面与XY平面交线未切入履带接地面积，履带在接地面积范围内最小接地比压大于0，则最大接地比压按式(19)计算。

P(B+b,L)<0，且P(b,L)≥0

若P(B+b,L)<0，说明履带接地比压分布平面与XY平面交线已经切入履带接地面积，履带的实际接地比压会重新分布，计算过程中左侧履带的Y向积分上限为l+kx，右半侧履带的积分上限为L，将式(16)～(18)修改后重新积分求得Pmax.

P(B+b,L)<0，且P(b,L)<0

若P(B+b,L)<0，且P(b,L)<0，说明履带偏载非常严重，接地比压分布平面已经深度切入履带接地面积，计算过程中左侧履带和右侧履带的Y向积分上限全部为l+kx，将式(16)～(18)修改后重新积分计算得出Pmax.

设备工作过程中一般要求履带接地面积内任意点处的接地比压大于0，即P(B+b,L)≥0.

3 应用实例

以某型号履带式巷道修复机为例进行验算。具体参数如下：设备总重G=350 000 N，履带接地长度L=2 000 mm，履带板宽b=500 mm，履带中心距B=2 000 mm，按照图1建立计算坐标系。假设设备重心在不同位置，应用前文所述计算公式可计算得出表1所示计算结果。

表1 不同重心对应的接地比压
Tab.1 The ground pressure under different centers of gravity position

工况重心(mm)实际比压(MPa)实际比压/平均比压X-Y1250,10000.1751X1250,5000.4672.67Y900,10000.251.43X-Y900,9000.30251.73

分析表中数据可以得出以下结论：

(1)若设备重心位于行走部接地形心，应用本文所推导的公式计算得出的接地比压与平均接地比压相等。

(2)若设备重心位于行走部X向对称面，应用本文所推导的公式计算得出的接地比压与参考文献1、2计算的得出的接地比压相等，验证了公式的正确定。

(3)若设备重心偏离行走部接地形心，实际最大接地比压远大于平均接地比压，即平均接地比压不足与反映地基的真实受压情况。

(4)若设备重心位于行走部Y向对称面或者偏离行走部对称面，本文首次给出了最大接地比压的计算解析式。

4 结 论

本文建立了履带式设备工作过程的等效模型，基于履带接地面积内比压呈平面分布的假设，系统推导了各种工况下最大接地比压的计算公式，得出如下结论：

(1)等效后设备重心在行走部X向对称面上，若Y向坐标Y≤L/3，根据式(7)计算最大接地比压Pmax；若L/3

(4)若等效后设备重心不在行走部的对称面上，根据式(19)～(21)初算最大接地比压Pmax和接地比压分布平面方程P(x,y)，然后根据左右两侧履带距离坐标原点最远处两点的比压值P(B+b,L)和P(b,L)，进一步讨论分析得出最大接地比压。设备设计过程中一般要求距离坐标原点最远处的比压大于等于0，即P(B+b,L)≥0.

(5)对于重心在X向对称面上本文所推导公式的计算结果与参考文献计算结果相等。对于设备重心偏离行走部接地形心，其实际最大接地比压会远大于平均接地比压，具体数值可依据本文所述公式进行计算。