基于深度教学的高中生数学抽象素养的培养

叶志娟

高中生的数学思维主要以抽象思维为主，其思维方式已经向理性层次跃迁。数学抽象作为一种内隐的思维品质和最核心的素养，其提升之道应立足深度学习。［1］而所谓深度学习是指学生在原有知识能力之上的、以学习者主动参与为前提、重视知识结构的系统建立、逻辑联系和认知策略的元认知过程，并通过知识、认知策略的迁移应用实现解决实际问题.笔者基于深度学习视域下高中生数学抽象素养的培养提炼出以下策略，以期能为教学实践提供一些参考.

首先要在知识的理解基础上，注重知识形象化，具体化，建构知识体系。就是要让学生在“生活”和“数学”交替中体验数学，在现实数学结构重组中理解数学。通过数学抽象活动把生活常识、活动经验提炼上升为数学知识，将具体数学问题抽象为一般化，从而提升学生数学抽象的水平。

策略一：循环类比式策略——在抽象的数学概念和原理的教学中，根据数学知识的形成背景和学生原有的认知水平，借助直观的模型、熟悉的生活实例、已有的数学知识情境设置等方法来研究对象，通过各种数学活动，形成新的知识体系，从而循环加深对数学知识的理解。

案例1：《椭圆》概念的教学设计

环节1——概念引入：生活情境一：用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，此时学生观察到截面为圆形。水杯倾斜，再让学生观察水平面，此时学生发现截面是什么图形？

动手操作二：如何用一根细绳画圆？如果将细绳的两端固定在这两点，用铅笔挑起细绳并绷紧，移动铅笔，可画出什么图形？你会如何定义这个图形？

【设计意图】生活情境一是根据学生生活的经验直观感知椭圆的基本形状，从感性的“形”入手；动手操作二是教师提供新的学习内容，以学生的思维去加工。让学生画圆与椭圆，识别不同情境中的相似性，经历抽象概括的基本过程，凸显数学本质。

环节2——概念构建：当学生看到椭圆定义的时候，大脑里想的已经不是那个曾经体验的过程，从知识构建的角度来看，已经构建出来的极为抽象的两个定点等于定值的点、线表象和数的特征。但从思维角度来看，教师甚至可以提出这样一个问题：在生活中看到的芒果是不是也能定义？是不是也可以类似椭圆定义的方式给出一个芒果的定义？

【设计意图】这样不是以标准答案的方式“告诉”学生，而是采用开放式问题形式呈现，引导学生先独立研究问题的可能结果，建立对数学原理的充分直觉，产生猜想，使数学第二次抽象成为可能，数学抽象素养得以提升。［2］

其次要在知识形成的基础上，注重大问题的结构化。通过学生动手操作画图，开放性问题，总结通性通法背后的数学原理和其中蕴含的数学思想，归纳概括出一些解题策略，用数学背后的数学原理和蕴学原理解释自然现象和社会现象，形成高度概括、有序多级的数学知识体系。［3］

策略二：大问题结构式策略——从问题的层次出发，通过设计问题思维链，明确数学的学习对象，重组原有的知识结构，构建新知识与原有知识结构的联系，对新知进行抽象概括，形成新的知识体系，使数学抽象成为可能。

案例3：任意角三角函数的概念引入

环节1——探究：在任意角概念的基础上，三角函数的概念应该怎样推广？

环节2——问题链：引导学生回顾初中三角函数的定义，依次提问：

（1）原有定义的背景是什么？现在，这个背景能够改变？

（2）在平面直角坐标系下，原有的直角边、斜边可以怎样转化？

（3）转化成相关点的横、纵坐标后，三角函数的定义可以如何修改？

（4）你还有其他的推导途径吗？你会用符号加以表述吗？

（5）这个定义可不可以适用任意角的情况？

环节3——多元交流：讨论，归纳，整理，得修改后的三角函数定义。

【设计意图】运用大问题结构意识，强化知识间的关联，更能让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，感受概念是自然的，更加深入地对数学问题进行思考，使第一次抽象成为可能，并促进数学思维能力的完善。

第三要在知识与知识之间的关联上，注重三种语言的转化与表征，从而实现有效迁移。在学生初步形成抽象概念后，要分析概念的核心属性，包括它与其他概念的从属关系，如何推广到同类事物中，并用准确的数学语言予以表达，使之一般化，如何以它为基础形成新的抽象概念等。［4］

总之，课堂研究没有终点.数学抽象素养的培养要在每一节课中有意识地不断渗透以上策略，这些策略可以交替使用，形成研究数学问题的基本套路，使之可操作，从而发展学生数学抽象。