蝴蝶定理的研究与推广

王一卜

摘 要：对于蝴蝶定理的研究和推广，提出了关于弦（贯穿整个图形的核心）在圆的切线上的证明，并进行了求证与推广然后对弦上交点个数以及相关对应点进行了讨论并总结汇总了表格，最后通过第三部分得出了论文的核心结果。

关键词：蝴蝶定理;推广

在说到与圆有关的命题时，许多的教育工作者都会想到一个经典的几何命题——蝴蝶定理，并用此定理作为讲授和研究与圆有关问题的典型例子。蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典欧式平面几何最杰出的结果之一。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1994年2月号，题目的图形就像一只蝴蝶.蝴蝶定理作为一道著名的平面几何问题，有人赞誉它为欧式几何园地里的“一颗生机勃勃的常青树”。蝴蝶定理最先作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》，中同时刊登了蝴蝶定理的两个证明方法.其中一个是英国著名的自学成才的数学家霍纳的解法.霍纳受过中等教育，18岁时担任其母校校长.关于这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍被数学热爱者研究，本文在给出蝴蝶定理的一个简洁证明的基础上研究其推广形式并加以证明。

一、蝴蝶定理的介绍

接下来为大家介绍蝴蝶定理的一种形式。定理1.1如，1.1作直线AB交圆O与A，B取中点M，CD与GH交于M连接DG，CH分别交于AB于P，Q两点，则MP=MQ。证明：易知△CMF～△EMD，MG，MH为这两个相似三角形对应边上的中线，所以△GMF～△HMD，则∠FGM=∠DHM.又因为O，G，P，M四点共圆，有∠POM=∠PGM=∠QHM=∠QOM由此得Rt△POM≌Rt△QOM，所以PM=QM                                                                    證毕

以上为蝴蝶定理的关于线在圆内的标准推广，下面介绍一种关于线在圆外的推广。定理1.2 如图1.2做圆O，做园外一直线过圆心做垂线交直线于点M，在直线上取M为对称点的E，F过E，F作直线交于A，B，C，D.直线与BC，AD交于S，T如图1.2，由于下文会有该题目的讲解所以题目及证明在这里不再赘述。蝴蝶定理的形式千变万化其中不乏在特殊图形中的推广，接下来笔者为大家展现以下证明。定理1.3[5] 如图1.3，△EAP中DM与AP延长线交于C点，则。证明：由于PM=QM，由（1），（2）得=1（5）。△EAM中，DQ交AM的延长线于点B（3）。△FBM中，CP交BM的延长线于点A，（4），由（5），（6）得（7），因此（8），由（7），（8）得MF×QE=ME×PF所以ME=MF。而本题则以多圆为主线，利用圆上的性质与定理进行求解，该题证法略。定理1.4[4]  如图1.4AB为圆O内任意一条弦，过M做CD，EF， △EMD与△CMF外接圆与AB交点为G，H则MG-MH=3（MA-MB）。

二、关于前人推论与我的思考

在了解大量推广后我进行了分类总结并归纳出如下定理。本节中部分定理已经做过介绍便不再赘述。定理2.1该定理与1.1基本图形略有不同此外弦上交点也多了一个。如图2.1，PQ为过圆的一条直线，点M则为PQ的中点，E，F为PQ上关于M对称的点。过点E，F作两条弦AB，CD交于圆O，依次连接BC，AD交于PQ与点T，S所以MS=MT。定理2.2[4] 该定理与定理1.1基本图形较为近似，1.1通过做垂线的方法进行求解而该定理则是延长线段进行求解。如图2.2，△ENQ被直线EF所截=1，PNQ被直线CD所截=1。定理2.3[4] 该定理与2.1颇为相似弦上交点个数相同基本图形三角形交点略有不同。如图2.3，做圆O取M为弦AB中点H，N为AB上任意两点且关于M点对称，过H，N做任意两条弦CD，EF交AB于Q，P则MP=MQ。

定理2.4[4] 该定理较为特殊是蝴蝶定理在四边形中的应用弦上交点与定理2.2相同。如图2.4，如果BD为ABCD中线，令其对角线交点为M，使AB，CD交于P，Q，与AD，BC交于S，R连接PR，SQ与AC交于G，H，则MG=MH。定理2.5[4] 该定理则想法较为新颖，设计出了蝴蝶定理关于弦在圆外的情况弦上交点个数也较多。如图1.2，题目及证明在这里不再赘述。证明：在△ESA中，，在△EBT中，，在△FTC中，△SFD中.将上面四式两边相乘，同时∠EAC=∠BCD， ∠B=∠D.则有EA×EB×TF×FS=ES×ET×CF×FD.由于OM⊥EF，EM=FM，所以EA×EB=CF×FD.即TF×FS=ES×ET，所以ME=MF，易得MS=MT 证毕，定理2.6[4] 该定理描述了蝴蝶定理关于在直线之间夹角的情况。如图1.3题目及证明在这里不再赘述。

通过对六个定理及其基本图形，弦位置，弦上交点个数的总结及判断得出了关于蝴蝶定理的更深层次的理解与探讨，接下来笔者也会在下文中加入自己关于蝴蝶定理的研究与推广方面的思考以及探究。

三、关于我的思考

在前面了解了大量蝴蝶定理推广后，我初步有了自己的想法做出了该定理由于对蝴蝶定理关于弦在切线外的情况了解不够充分导致该定理证明出现问题列举此定理只是为了展示本人在研究过程中的思考。如图3.1做一条切线过圆O交于AD以M点为对称点做E，F取任意点A，B连接AF，BE，A过圆与BE交点于点C，B过圆与AF交于点Q，连接AC交EF于点P，则PM=QM。

如图3.2做圆O切线PQ交圆O于点M在圆O任取一直径（不垂直于切线）CE过点ML连接CM并延长至点D过点E连接EM并延长至点F使△MCE～△MDF求证PM=QM。此前两个证明由于条件等各方面不够充分导致无法准确证明其结论，接下来笔者为大家带来本篇论文的核心结论。关于在正方形中蝴蝶定理的推广的探讨。猜想3.3 如图3.3四边形ABCD为正方形O为BD中点M，N为BD四等分点，做EH∥BC，EF⊥BD证明：OP=OQ。

分析：因为△NGD～△NFB，所以DN：BN=DG：BF=，DG=BF因为EF⊥BD且ABCD为正方形所以∠BEF=∠BFE=，BP=1所以PF=EP=BP=1所以BF=BE=所以DG=BF=.EM=BE=BF=，AB=BC=EH=4BE=4，MH=EH=3，BD=AB=8因为△QDG～△QMH所以因为DQ=MQ，DQ+MQ=DM=BD=6所以DQ=，MQ=，OP≠OQ.

对于蝴蝶定理在圆中的证明本文中已经有许多講解，在此不做过多赘述，但对于蝴蝶定理在三角形及四边形中的推广很少见，因此先着重介绍一下定理2.6：该定理是由两条直线相交并通过线段构造三角形，证明方法简单，思路新颖，在此基础上经过导师讲解了一定数量的推广，思考了正方形中的推论。该定理同样构图简单题目明了，但对于条件思考有所欠缺，所以并没有将最终结果得出。因此，通过证明得知该猜想不成立，但定理通过比例，相似等一些方法得出了最终结论内接于四边形的蝴蝶并不满足蝴蝶定理的对应关系，同样的定理推出了OP≠OQ，就是说该定理的结论其实并不成立，研究就是要有大胆的猜想虽然此定理证明失败了，但是通过我的努力为蝴蝶定理在正方形中的推广做出了一些成果。

上面的猜想中的基本图形是正方形，弦的位置的是正方形的内部。而这个猜想的失败说明不是每个方向的推广都是可以成立的。至于具体还有哪些成立的推广方向还有待进一步探讨。

四、结语

笔者在阅读大量的参考文献后通过老师的讲解确定了自己的研究方向并总结了一定量的推广展示于本文中，在思考核心结果的初期受到定理1.2的启发思考了关于蝴蝶定理在圆切线外的推广。由此便有了图3.1与图3.2的推论，但在推论过程中思考欠佳所以导致这两个猜想无法进行可靠有效的证明。因此笔者在听从了导师的建议后开始着手四边形中蝴蝶定理的推广，经过自己的钻研以及与导师的不断探讨最终在定理2.6中获得思路并得出了猜想3.3关于蝴蝶定理关于在四边形的推广，但最终由于本人水平有限没有能将该推广完全证明出来，希望大家谅解。（1）关于结果类型。结果分为三个其中前两种属于蝴蝶定理在切线上的推论与思考，后一种属于关于在四边形里的推广。前两种由于条件不够充分造成证明不成立，第三种则是由比例证得。（2）关于结论优缺点。关于图3.1该定理优点在于创新出新的弦与圆相交的方式但由于圆中弦的加入导致定理并无创新变化证明也与其往常形式类似。关于图3.2该定理明显与上个定理差别较大结构更加紧凑线与线的交汇也很合理核心问题在于圆内交点过少对证明影响较大。

参考文献

[1] 梁林，陶布，胡钊.浅谈蝴蝶定理的再推广及其应用[J].楚雄师范学院学报，2011，26（9）：37-46.

[2] 张景中.新概念几何[M].北京：中国少年儿童出版社，2002，1.

[3] 宋庆.一道女子数学奥林匹克试题的再证[J].中学数学，2008，4.

[4] 沈文选，杨清桃.几何瑰宝：平面几何500名题暨1000条定理下[M].哈尔滨工业大学出版社，2010.

[5]杨俊林.蝴蝶定理及其推广[J].上海中学数学，2010（3）：42-44.