例析高一数学三角形中的中线问题

江苏省南京市栖霞中学 张鸿博

向量是高中数学的重要内容，在教学中占据重要地位。具体来说，向量既有代数运算，可以进行相加、相减、数乘和数量积运算，又有几何特征，可以用它来证明直线平行、垂直，同时它又有丰富的物理背景，可以类比物理中的速度、加速度、位移等。学好向量对于我们以后的学习很有帮助，这就要求学生形成一个正确的向量概念，深刻理解其内涵。

在高一数学中，有一类三角形的问题学生屡做屡错，例如：

在△ABC 中，AD 是BC 边 上 的 中 线， 已 知∠A=120 °，AB=4，AC=6，求AD 的长。

【分析】此题明显是以三角形为背景的题目，学生看到题目的第一反应是运用解三角形的相关知识：

【错解】在△ABC 中，

到此为止，准备工作已经完成，接下来要求AD 的长，而在△ABD 中，我们只有AB=4,,两个条件解三角形是不够的，同理，在△ACD 中，解三角形的条件也不足，所以学生到这里就做不下去了。

我们来反思一下，为什么上述方法不成功呢？直接原因当然是条件不够，那根本原因是什么？是中线AD 把∠A=120°分成了两个角，而这两个角我们都不知道，所以我们才会缺少条件。

于是，这道题的问题就变成了如何在只知道大三角形中的两边及一夹角的情况下，求出大三角形内部的一根中线的问题，那我们该如何解决这个问题呢？

两边及一夹角，除了和余弦定理有关，还和向量的数量积有关！

此题除了上述解法外，还有其他方法。上题的难点在于中线AD把∠A=120°分成了两个角，而这两个角我们都不知道。虽然两个角都不知道，但是我们知道这两个角的和，所以我们可以把这两个角“打包”，让它们同时出现，于是我们想到了这样的方法：

【解法二】如右图所示，把△ABD 绕D点旋转80°，不难证明△ABD ≌△A′CD，

在△ACA′中，即AC=6,A′C=4，

由余弦定理得：AA′2=AC2+A′C2-2AC·A′C·cos∠ACA′=16+36-