岸上物体经水面折射成像的位置分析

唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中学,江苏 南京 210003; 2. 南京晓庄学院电子工程学院,江苏 南京 211171)

1 引言

笔者曾撰文[1]研究了人眼从空气中看水中物体时水中物体的成像规律,本文则尝试阐述人眼从水中看岸上物体时岸上物体的成像性质和规律.后者更少有人撰文分析.可能很多人会认为裸眼在水下根本不可能看清楚岸上的物体,其实不然,只要在水下裸眼前放置10倍以上的高倍放大镜,即可大体抵消眼睛角膜前的水凹透镜的影响,从而看清岸上稍远处的物体.对此,笔者在水下做了亲眼测试,效果不错,符合预期.本文和文献[1]将有助于读者对于光在水和空气界面处的折射成像问题形成一个相对完整的认识.

2 空气中物点在水中成像的一种常规推理思路

由姚启钧《光学教程》[2]可知,图1中像点S′的坐标为

(1)

(2)

图1 空气中的物点S在水中的折射成像示意图

则像点S′的轨迹方程为

(3)

根据式(3)可作出虚像S′随入射角i的位置变化图,见图2,其中已设物点S的高度h=1 m,水的折射率n=4/3.

图2 h=1 m处物点的虚像随入射角i的位置变化图

3 弧矢、子午虚像的由来与人眼中实际虚像的判定

由于我们的瞳孔有一定的大小,直径在2～5 mm,因此我们需要考虑一束从光源S发出的空间细光束如何形成虚像.为此可将图1中的折射平面Oxy绕y轴偏转一个很小的角度θ,则三角形SAB将扫出一个空间单心发散光束.

首先讨论第1种折射成像情况.

如图3所示,当光线SA绕y轴转动θ角时会形成无数条入射角相同的入射光线,它们的折射光线的折射角也相同.显然,这些折射光线的反向延长线将会聚于y轴上的同一点S1(即像点).依此类推,当入射角i小幅变化时,上述单心发散光束的折射光线的反向延长线将依次会聚在y轴上的小线段S1S2范围内,见图4.

图3 相同入射角的光线折射形成的虚像

图4 视角r(或i)的变化所形成的系列虚像

接下来讨论第2种折射成像情况.

图5 成像面Oxy绕y轴旋转形成的系列虚像

然而,从图4和图5可以看到,人眼在水下(通过高倍放大镜)观察岸上的物体时,该物体的弧矢虚像必然“挡”住后面的子午虚像,因此人眼通常看到的只能是前面的弧矢像,而无法透视看到后面的子午像,自然也就不会观察到像在很远处的情况.当然,如果物体是极小的点或极细的线,那么此时焦线的长度理应凸显出来,理论上人眼会同时看到不完全重叠的子午、弧矢虚像,像也理应是模糊的,即存在像散效应.但实际上,由于人眼所看到的焦线实在太短以及人眼分辨能力的缘故,这种小点与细线的像散现象人眼在通常的视角下很难观察到.笔者曾在近处用裸眼去仔细观察装满水的脸盆底如头发丝般粗细的细线和小点,左看右看上看下看,基本看不出粗细和大小的明显变化以及像散(模糊)现象.由此可见人眼中的子午焦线与弧矢焦线之短.这也证明了人眼所看到的只能是近处的虚像.即水下看水上的物体看到的是弧矢像,而水上看水下的物体看到的则是物体的子午像.

4 子午虚像与弧矢虚像的位置对比与分析

参照图4,可写出水面上方h高度处物点S的弧矢像坐标y的表达式

(4)

利用折射定律sini=nsinr可将式(4)改写成

(5)

应用式(5)并合并图2,可作出弧矢、子午两种虚像位置的对比图6,其中已令h=1 m.可见入射角i越大(即观察视角r越大),两种像点偏离物点越大,但弧矢像仅在y轴上有偏移且幅度相对较小,而子午像则在x、y方向上均有大幅偏移,变得又高又远.当然,水下的人眼只能看到前面的弧矢像.

图6显示的是物点的位置(h)固定而观察者的视角在变化的情形.但更常见的则是人眼处在水下的固定位置,而岸上的物体有一定高度的情形,例如水下看高楼.那么此时高楼各楼层的弧矢像和子午像位置又如何呢?

图6 不同视角下弧矢像与子午像的位置对比图

如图7所示,设岸上物体的高度为h,水面下方附近的观察点距物体的水平距离固定为l.将tani=l/h及折射定律sini=nsinr一起代入式(4)可得弧矢像的坐标y随h及l变化的函数

图7 岸上物点S的弧矢像S′的成像示意图

(6)

同理,将tani=l/h代入式(1)、式(2)即得子午像坐标随h及l的变化函数

(7)

(8)

考虑一个现实中可能的情形:取l=20 m,物体为一幢20层的高楼,总高60 m,则应用式(6)、式(7)和式(8)即得在水平距离l=20 m处的水面下方附近所看到的高楼各楼层的虚像(弧矢像)位置,以及其后的子午像的位置,见图8,其中已设地平面与水平面一致.

由图8可见,人眼所看到的楼房的弧矢像仍在原地,但各楼层普遍抬升了约20 m,增高幅度随楼层缓慢增加.经计算,地平面的弧矢像高度为高楼各楼层的弧矢像和子午像位置17.6 m,而20层楼顶(60 m)的弧矢像高度则为81.9 m.这些和实际观察相符.从图8又可见,高楼子午像的形状十分异怪:七楼即18 m以上的子午虚像还算中规中矩,与相应的弧矢像接近;但七楼以下的子午虚像则变得越来越高、越来越远,其中一楼即地平面的子午像竟然在无穷远处.这就是说七楼以下楼层的子午虚像会越来越模糊.这与实际观察的结果不符.事实上从水下看一至七层楼的虚像的清晰度差不多,这就证明了我们从水下用肉眼看岸上的物体,看到的只能是物体的弧矢像.图9给出水下的鱼眼镜头所拍摄的水面上方景物的照片,虽然与人眼的主动对焦及小瞳孔成像机制有显著差异,但图像类似.图中的景物圆圈是由折射光线的临界角所致.该图也相当于鱼眼中的水上世界(假设鱼眼的视力足够好的话).

图8 l=20 m处水面下方附近看60 m

图9 “鱼眼”中的水上世界

5 结论

综合以上分析可知,从水中观察到的岸上物体的虚像有如下特点.

(1) 每一个物点同时产生两个虚像——弧矢像点和子午像点,它们一近一远处在同一束折射光线的反向延长线上.

(2) 子午像在物点的左上方(观察点在物点右下方的水面下,见图6),其位置与入射角i有关,i越大即观察者越远,子午像向左上方移动的趋势越大.

(3) 弧矢像在物点的正上方,其高度也和入射角i有关,i越大弧矢像也越高,只是增高的幅度没有子午像那么大,见图6.

(4) 当人眼竖直向上观察即i=0°时,物点的子午、弧矢像点将重合,见图6.从式(2)和式(5)可得此时像点的最低高度同为y=nh=1.333h,称作像似高度.

(5) 由于同一视线上的弧矢像总是遮住子午像,且人眼中的弧矢、子午焦线极短,因此人眼只能观察到近处的弧矢像,而无法透视看到后面的子午像.通过裸眼在水中透过高倍放大镜的观察可验证这一点,参见图8和图9.同理,从水上看水下的物体看到的则是子午像,利用裸眼的明视距离去观测便能轻松地验证这一点.

(6) 2003年人教版高中物理教材(必修加选修)第三册[3]中给出的水中的鱼看岸上的树的插图10显然是错误的.它画的是树的子午像(参见图8).正确的画法应该是在树的正上方画一正立的弧矢像.如图9那样.这里从略.

6 结束语

在中学物理的教学过程中,对于物点经平面界面折射成像的问题,一般教师仅用寥寥数语或寥寥几笔作图一带而过.教师对于像的具体位置及其随视角的变化情况或有大致的了解,但往往不够清晰,其原理更不详.更少有人知道虚像会有两种,水上看水下的物体看到的是物体的子午像,反之则是弧矢像,所以中学教材中出现了图10这种错误.虽然大学的光学教材对于界面的折射成像原理有所涉及,但均未深入讨论,也鲜见有人专门撰文研究,因此笔者在研究的过程中才有了“新的发现”.笔者撰写此文的目的旨在与同行们探讨,本文在此权当抛砖引玉.

图10 鱼眼中岸上树的理论意义上的子午像