“以学定教”深化数学核心素养

周连莉

摘  要：“平行四边形面积”在图形面积公式教学中占据着承上启下的重要地位。转化方法的习得和转化思想的渗透是本课教学的重要目标。我们的教材是否遵循学生的认知基础？我们的教学是否适合学生认知水平？我们在对人教版教材与名师的课堂教学的两种不同的教学思路进行分析的基础上，对学生的学前学习情况进行调查与分析，验证两种思路各自的合理性，和可以改进的地方。进而，形成自己的平行四边形面积计算公式的推导思路。

关键词：平行四边形;面积计算公式;研究调查

数学学习内容对于学生来说应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，为学生选择的这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流 [1]。关于“平行四边形面积公式的计算”教学的思考与探索源于拜读了《小学教学》（数学版）2010年第7-8期特级教师朱国荣的《追寻基于学生的理想课堂——“平行四边形的面积”教学实践与研究》。朱老师开门见山，直接出示平行四边形图形，让学生根据自己的测量结果，直接求平行四边形的面积，当学生出现邻边相乘的情况时，逐步验证，发现错误并推导出正确的面积计算公式。但是，当我们看人教版的教材编排，是从数格子的方法，逐步让学生发现平行四边形的面积与平行四边形的底和高的关系。这两种不同的思路分别基于学生怎样的学习基础？这两种思路哪一种更符合学生的前学习状态？我们在实际教学中可以怎样进行借鉴，融合两者的优点，形成自己的学习教学思路？带着这些问题，我们进行了以下平行四边形面积计算公式推导的教学重建。

教育心理学研究发现，不同的教学方式产生的教学效率是不大相同的 [2]。鉴于此，笔者选取了五年级两个班共79名学生在没有任何暗示的情况下独立完成调查。调查的目的是了解学生关于长方形面积公式推导的理解程度，在计算平行四边形面积时是否受长方形面积公式的干扰？在教学之前学生是否已经会计算平行四边形面积。

1. 调查内容

出示长方形与平行四边形图形，分别要求学生通过独立测量求面积，并回答相关问题。

2. 调查结果

长方形面积计算正确率100℅。平行四边形面积计算中有7位学生求了图形的周长，其余71名学生对三个图形的计算过程均为邻边相乘即：4×2=8（平方厘米），占总人数的89.87℅。在访问抽取的10名不同层次学生怎样计算平行四边形面积时，他们认为“和长方形面积计算一样，用底×邻边”，不同层次的学生对于“为什么平行四边形面积计算用底×邻边”回答大致相同。其中一位中上生表示“长方形也是平行四边形，长×宽=长方形面积，因此底×邻边=平行四边形面积”;中下生普遍认为“平行四边形拉动可以变成长方形，所以面积计算方法一样”。

教学过程的有效性在很大程度上取决于教学视角与学生的“已知”状态是否匹配。那么引发学生转化意识的切入点在哪里？转化后如何探求平行四边形面积的计算方法？带着这些困惑，笔者从学生的前学习状态出发，有机结合上述两者思路，在课堂教学中进行了尝试。

一、出示平行四边形，学生求面积

出示一个平行四边形图形（底是6厘米，对应的高是4厘米，邻边是5厘米），直接提问：“你能求出这个平行四边形的面积吗？”让学生进行主动学习和思考。学生测量计算过程中，教师巡视，收集学生的不同方法。针对学生出现的6×5=30（平方厘米）和6×4=24（平方厘米）两种方法进行交流。在交流过程中，总结出两种计算公式：底×邻边、底×高，并让具有“底×邻边”想法的同学说明为什么要这么算，你是怎么想的。学生说到“长方形面积=长×宽”，而平行四边形容易变形，可以将平行四边形拉成长方形，所以可以用“底×邻边”的方法算面积。（教师在黑板上出示一个平行四边形拉动后的长方形图形和一个活动的平行四边形框架）这样的认识会得到大多数同学的认可。在交流中形成以下板书：

1. 在独立探究中生成教学资源

通過辨析，很多学生会发现刚才认为正确的方法其实是错的，这对学生来说是一个很强的认知冲突。同时，也给学生带来了机遇和挑战，产生强烈的探究动机。当学生在初次尝试出现两种方法时，没有因为“结果错误”来否定“底×邻边”，学生只是明白了“这样才是正确的”，始终不清楚“那样为什么就是错误的”。笔者以为，发现错误比建立正确认识更重要。在学生独立探索前，教师要鼓励学生独立地、不受干扰地按照自己理解去解决新问题，而不是给予太多的铺垫，学生这种理解或正确或清晰或错误，不同学生的不同思维成果的呈现和交流就是课堂最生动的教学资源。

2. 在留白过程中引发后续思考

如果简单粗暴地封杀邻边相乘的方法，学生在全面理解了平行四边形中邻边相乘的原理，从持续发展的角度来讲，是不可取也不科学的。不管是正方形、长方形还是平行四边形面积，都可以通过邻边相乘再乘以两边夹角的正弦值来求得，只不过长方形、正方形正弦值正好是1。如果我们现在封杀了这条路径，将来还会有这方面的探究欲望吗？

二、利用方格图，观察变化

只有在“做”数学中，学生才能经历知识发生的过程，体验数学思想和方法的形成过程，领悟数学学习的真谛 [3]。针对学生出现的不同意见，教师不做判断。先让学生在格子图中画出平行四边形，然后把这个平行四边形下边的一条底边不动，把它推拉成一个长方形并画出来，让学生说说是怎么画的？教师课件出示，引导学生比较拉动前后两个图形的面积，初步感知推拉后的长方形面积变大。

1. 在方格图中构建新知识

在教学中，如果直接出示一个平行四边形，通过测量推测平行四边形面积，不仅增大难度而且会耽误时间。而方格图能有效地帮助学生，不仅能快速准确地完成操作，而且能清晰地看出所画平行四边形的邻边和底与长方形长和宽之间的关系。更重要的是能有效利用长方形面积推导时的面积度量意义，使学生明白面积公式推导的真正含义，也为直接借助空间想象转化推导降低难度。

2. 利用框架演示感受“变”的过程

面对学生拉动后面积“变”和“不变”的争议，及时让学生在方格中画出推动后的平行四边形和教师演示“长方形框架推拉逐渐变形”的实验，可以使学生直观地感受“变”的真实过程，如果一直往下来，这个长方形会越来越“扁”，直到上下两条边重合为止，也就变成“零”。这就好像在变魔术，本来在兴致盎然地做着实验，突然“全场寂静”，为什么会变成“零”了，迫使学生逆向思维，推动着学生换一个思维角度重新看待平行四边形面积问题，为后面的理性探究活动指明方向。

三、将错就错，推导公式

组织学生利用网格（一个方格代表1平方厘米）数平行四边形的面积，教师提出“不满一格的怎么数？”学生会想到可以把每一行左右两边不够一格的合到一起数，正好是一格或者平行四邊形右边那个直角三角形平移到左边拼成一个新的长方形。学生从割补后的长方形中数或计算出了原来平行四边形的面积，领悟了平行四边形的面积计算公式。为了计算的方便可以用底×高代表单位面积的排列数量。

1. 在意义建构过程中产生割补意识

站在学习者的角度，教材中“不满一格的都按半格计算”的提示是难以接受的。不满一格都要按半格计算，这样数出来的面积是不是平行四边形的面积？其准确性有多高？在割补时教材给了提示，要画平行四边形的高，要准备一把剪刀，这都为学生产生割补转化的意识提供了条件。通过学习材料的暗示，学生借助长方形面积推导中数方格的经历，很自然地想到平行四边形面积也用数，但在数的过程中碰到有不满一格的，就产生了割补的欲望，真正实现意义建构。

2. 在度量意义的反复体验中获取面积公式

笔者以为对平行四边形面积度量意义的体验不能浅尝辄止，而应在操作与想象的转化对照中反复体悟、加深理解，逐渐形成计算公式。教师首先引导学生思考为什么要转化，而这背后也隐藏着这样的思维逻辑：转化为长方形只是因为用以度量的单位面积是个小正方形而已，如果用其他图形作为度量单位就另当别论了。其次使学生清楚意识到转化的前提在于面积的大小不能变化，在教学中，让学生通过摆一摆、说一说、找一找理解底和高代表的意义，将面积度量的形象操作阶段逐渐过渡到表象形成阶段。

参考文献：

[1]  康建华. 我们需要什么样的小学数学课堂[J]. 上海教育科研，2015（4）：74-76.

[2]  施俊进. 数学教学从“以教定学”到“以学定教”[J]. 教学与管理，2009（31）：60-62.

[3]  秦文，李海英. 让学生真正经历数学学习的过程——《平行四边形面积的计算》一课两上的实践与分析[J]. 教学与管理，2012（23）：50-52.